Lineare Gleichungssysteme lösen

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man lineare Gleichungssysteme löst.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Rechnerische Lösungsverfahren

In der Schule lernen wir folgende Lösungsverfahren kennen:

Im Studium kommen weitere Lösungsverfahren hinzu:

Dabei ist der Gauß-Algorithmus ohne jeden Zweifel das populärste Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen lassen sich als Geraden in ein kartesisches Koordinatensystem einzeichnen.

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

$$ \begin{align*} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{align*} $$

Jede Zeile des Gleichungssystems entspricht einer Gerade im Koordinatensystem.

Je nachdem, wie die beiden Geraden zueinanderstehen, gibt es folgende Lösungsfälle:

a) Genau eine Lösung

Die Geraden schneiden sich.

Abb. 1

b) Unendlich viele Lösungen

Die Geraden sind identisch.

Abb. 2

c) Keine Lösung

Die Geraden verlaufen parallel zueinander.

Abb. 3

Beispiel 1

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem

$$ \begin{align*} 2x + 3y &= 14 \\ x + 2y &= 8 \end{align*} $$

Löse das Gleichungssystem graphisch.

Gleichungen nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$$ \begin{align*} 2x + 3y &= 14 &&|\, -2x \\ x + 2y &= 8 &&|\, -x \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3y &= - 2x + 14 \\ 2y &= -x + 8 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3y &= - 2x + 14 &&|\, :3 \\ 2y &= -x + 8 &&|\, :2 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} y &= - \frac{2}{3}x + \frac{14}{3} \\ y &= -\frac{1}{2}x + 4 \end{align*} $$

Geraden in Koordinatensystem einzeichnen

Abb. 4

Lösungen bestimmen

Die Geraden schneiden sich im Punkt $S(4|2)$ .

Die Lösungen des Gleichungssystems sind folglich $x=4$ und $y=2$ .