Erweiterte Koeffizienten­matrix

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine erweiterte Koeffizientenmatrix ist.

Einordnung 

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen bedeutet in der Regel eine Menge Schreibarbeit. Um den Schreibaufwand zu reduzieren, lernen wir eine vereinfachte Schreibweise kennen.

Definition 

1. Schritt: Vom linearen Gleichungssystem zur Matrix-Gleichung

Ein lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen (Zeilen) und $n$ Variablen (Spalten)

$$ \begin{alignat*}{5} a_{11}x_1 & {}+{} & a_{12}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1 \\ a_{21}x_1 & {}+{} & a_{22}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{2n}x_n & {}={} & b_2 \\ \vdots\quad & & \vdots\quad & & \vdots\,\, & & \vdots\quad & & \vdots\, \\ a_{m1}x_1 & {}+{} & a_{m2}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m \\ \end{alignat*} $$

kann folgendermaßen als Matrix-Gleichung formuliert werden:

$$ {\color{#ff8000} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} } \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} $$

Abkürzung

$$ {\color{#ff8000}A} \cdot \vec{x} = \vec{b} $$

Symbolverzeichnis

• $A$: Koeffizientenmatrix
• $\vec{x}$: Lösungsvektor
• $\vec{b}$: Vektor der Absolutglieder

2. Schritt: Von der Matrix-Gleichung zur erweiterten Koeffizientenmatrix

Ob die Variablen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ oder $x$, $y$ und $z$ heißen, ist für unsere Rechnung völlig unerheblich. Am einfachsten ist es, wenn wir den Lösungsvektor $\vec{x}$ ganz weglassen und die Koeffizientenmatrix $A$ mit dem Vektor der Absolutglieder $\vec{b}$ zu einer Matrix verschmelzen:

Beispiele