Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
In diesem Kapitel sprechen wir über die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein lineares Gleichungssystem?
- Was ist eine Koeffizientenmatrix?
- Was ist eine erweiterte Koeffizientenmatrix?
- Was ist der Rang einer Matrix?
Anleitung
Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix bestimmen
Ergebnis interpretieren
Es gibt folgende drei Lösungsfälle:
Keine Lösung
$$ \text{rang}(A) \neq \text{rang}(A|\vec{b}) $$
Es gibt keine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix $A$ nicht dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A|\vec{b})$ entspricht.
Eindeutige Lösung
$$ \text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) = n $$
Es gibt eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der Variablen $n$ entspricht.
Unendlich viele Lösungen
$$ \text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) < n $$
Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen $n$ ist.
Beispiele
In den folgenden Beispielen wurden die lineare Gleichungssysteme bereits mithilfe des Gauß-Algorithmus in die obere Dreiecksform gebracht. Wir konzentrieren uns darauf, die Ränge abzulesen und das Ergebnis zu interpretieren.
Gegeben sei ein LGS durch
$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) $$
Triff eine Aussage über die Lösbarkeit des LGS.
Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix bestimmen
$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & 3 \end{array} \right) $$
$$ \Rightarrow \text{rang}(A) = 2 $$
$$ \Rightarrow \text{rang}(A|\vec{b}) = 3 $$
Anmerkung: Das LGS hat $n = 3$ Variablen.
Ergebnis interpretieren
$$ \text{rang}(A) \neq \text{rang}(A|\vec{b}) $$
$\Rightarrow$ Es gibt keine Lösung.
Gegeben sei ein LGS durch
$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 9 & 3 \end{array} \right) $$
Triff eine Aussage über die Lösbarkeit des LGS.
Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix bestimmen
$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & 9 & 3 \end{array} \right) $$
$$ \Rightarrow \text{rang}(A) = 3 $$
$$ \Rightarrow \text{rang}(A|\vec{b}) = 3 $$
Anmerkung: Das LGS hat $n = 3$ Variablen.
Ergebnis interpretieren
$$ \text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) = n $$
$\Rightarrow$ Es gibt eine eindeutige Lösung.
Gegeben sei ein LGS durch
$$ (A|\vec{b})= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$
Triff eine Aussage über die Lösbarkeit des LGS.
Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix bestimmen
$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} \end{array} \right) $$
$$ \Rightarrow \text{rang}(A) = 2 $$
$$ \Rightarrow \text{rang}(A|\vec{b}) = 2 $$
Anmerkung: Das LGS hat $n = 3$ Variablen.
Ergebnis interpretieren
$$ \text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) < n $$
$\Rightarrow$ Es gibt unendlich viele Lösungen.
