Rang einer Matrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Rang einer Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren heißt Rang der Matrix.
In einer Matrix ist die größte Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren stets gleich der größten Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$
Da die 3. Spalte ein Vielfaches der 1. Spalte ist, sind die drei Vektoren linear abhängig.
Die ersten beiden Spalten sind jedoch nicht Vielfache voneinander und somit linear unabhängig, weshalb der Rang dieser Matrix gleich 2 ist: $\textrm{rang}(A) = 2$.
Rang einer Matrix berechnen
Matrix in Zeilenstufenform umwandeln
Lösung aufschreiben
zu 1)
Dazu verwenden wir den Gauß-Algorithmus.
zu 2)
Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Nichtnullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform.
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$
Berechne den Rang der Matrix.
Matrix in Zeilenstufenform umwandeln
$$ \begin{array}{rrr|l} 1 & 3 & 2 & \\ 2 & 4 & 4 & \textrm{II} - 2 \cdot \textrm{I} \\ 3 & 5 & 6 & \textrm{III} - 3 \cdot \textrm{I} \\ \hline 1 & 3 & 2 & \\ {\color{red}0} & -2 & 0 & \\ {\color{red}0} & -4 & 0 & \textrm{III} - 2 \cdot \textrm{II} \\ \hline 1 & 3 & 2 & \\ {\color{red}0} & -2 & 0 & \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & 0 & \end{array} $$
Lösung aufschreiben
Es gibt zwei Zeilen, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen.
$$ \textrm{rang}(A) = 2 $$
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$
Berechne den Rang der Matrix.
Matrix in Zeilenstufenform umwandeln
$$ \begin{array}{rrrr|l} 0 & -2 & 2 & 4 & \textrm{1. Zeile mit 2. Zeile tauschen}\\ 2 & -1 & -1 & 1 & \\ 2 & -2 & 0 & 3 & \\ \hline 2 & -1 & -1 & 1 & \\ {\color{red}0} & -2 & 2 & 4 & \\ 2 & -2 & 0 & 3 & \textrm{III} - \textrm{I} \\ \hline 2 & -1 & -1 & 1 & \\ {\color{red}0} & -2 & 2 & 4 & \\ {\color{red}0} & -1 & 1 & 2 & \textrm{III} - 0{,}5 \cdot \textrm{II} \\ \hline 2 & -1 & -1 & 1 & \\ {\color{red}0} & -2 & 2 & 4 & \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & 0 & 0 & \end{array} $$
Lösung aufschreiben
Es gibt zwei Zeilen, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen.
$$ \textrm{rang}(A) = 2 $$
Spezialfall: Rang regulärer Matrizen
Der Rang einer regulären Matrix entspricht der Zeilen- bzw. Spaltenzahl der Matrix.
Zur Erinnerung: Reguläre Matrizen sind Matrizen, die invertierbar sind.
Eine quadratische Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn gilt: $\det(A) \neq 0$.
Zur Erinnerung: $\det(A)$ ist die Determinante der Matrix $A$.
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = -10 $$
Da die Determinante ungleich Null ist und die quadratische Matrix $3$ Zeilen bzw. $3$ Spalten besitzt, hat die Matrix den Rang $3$.
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{vmatrix} = 0 $$
Da die Determinante gleich Null ist, handelt es sich um eine singuläre Matrix – also eine Matrix, die nicht invertierbar ist.
Über den Rang dieser Matrix lässt sich nur die Aussage treffen, dass er kleiner als $3$ ist. Den exakten Rang können wir mit einem der oben besprochenen Verfahren berechnen.
