Drehmatrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Drehmatrix (Rotationsmatrix) ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine orthogonale Matrix mit der Determinante $+1$ heißt Drehmatrix.
Drehmatrizen beschreiben Drehungen im euklidischen Raum.
Drehmatrix im $\mathbb{R}^2$
$$ R_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $$
Die Drehung eines Vektors $\vec{v}$ um einen Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn entspricht mathematisch der Multiplikation der Drehmatrix mit dem Vektor $\vec{v}$:
$$ R_{\alpha} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Gemäß der Matrizenmultiplikation berechnen sich die Koordinaten des Bildvektors $\vec{v}^{,}$ berechnen zu:
$$ \begin{align*} x' &= x \cdot \cos \alpha - y \cdot \sin \alpha \\ y' &= x \cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha \end{align*} $$
Zusammenfassend gilt:
$$ R_{\alpha} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} x \cdot \cos \alpha - y \cdot \sin \alpha \\ x \cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha \end{pmatrix} $$
Drehe den Vektor
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
um $30^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn.
Ansatz
$$ R_{30^\circ} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} \cos(30^\circ) & -\sin(30^\circ) \\ \sin(30^\circ) & \cos(30^\circ) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Nebenrechnung
$$ \begin{align*} x' &= 2 \cdot \cos(30^\circ) - 1 \cdot \sin(30^\circ) \approx 1{,}23 \\ y' &= 2 \cdot \sin(30^\circ) + 1 \cdot \cos(30^\circ) \approx 1{,}87 \end{align*} $$
Ergebnis
$$ \begin{pmatrix} 1{,}23 \\ 1{,}87 \end{pmatrix} $$
Graphische Darstellung
Im Koordinatensystem ist der Vektor
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
sowie sein Bildvektor,
$$ \vec{v}^{,} = \begin{pmatrix} 1{,}23 \\ 1{,}87 \end{pmatrix} $$
der aus einer $30^\circ$ Drehung gegen den Uhrzeigersinn entsteht, eingezeichnet.
In der Abbildung gilt: $\alpha = 30^\circ$.
Herleitung der Drehmatrix im $\mathbb{R}^2$
Im Koordinatensystem ist der Einheitsvektor
$$ \vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
eingezeichnet.
Diesen Einheitsvektor wollen wir gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel $\alpha$ drehen.
Es entsteht der Bildvektor $\vec{e}^{,}_x$.
Jetzt lesen wir die Koordinaten des Bildvektors mithilfe des Einheitskreises und einiger trigonometrischer Kenntnisse ab. Auf diese Weise erhalten wir:
$$ \vec{e}^{,}_x = \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} $$
Dasselbe Vorgehen beim anderen Einheitsvektor
$$ \vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
liefert die Koordinaten des zweiten Bildvektors
$$ \vec{e}^{,}_y = \begin{pmatrix} -\sin \alpha \\ \cos \alpha \end{pmatrix} $$
Wenn wir eine beliebige $2 \times 2$-Matrix mit den beiden Einheitsvektoren multiplizieren, erhalten wir die Spalten der Matrix:
$$ \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & a_{12} \\ {\color{red}a_{21}} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} \\ {\color{red}a_{21}} \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & {\color{red}a_{12}} \\ a_{21} & {\color{red}a_{22}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{12}} \\ {\color{red}a_{22}} \end{pmatrix} $$
Daraus folgt, dass die eben berechneten Bildvektoren
$$ \vec{e}^{,}_x = \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad \vec{e}^{,}_y = \begin{pmatrix} -\sin \alpha \\ \cos \alpha \end{pmatrix} $$
die Spalten der Drehmatrix bilden:
$$ R_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $$
Diese Matrix beschreibt eine Drehung eines Vektors des $\mathbb{R}^2$ um $\alpha$ Grad gegen den Uhrzeigersinn.
Drehmatrizen im $\mathbb{R}^3$
Drehung um die $\boldsymbol{x}$-Achse
$$ R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} {\color{red}1} & {\color{red}0} & {\color{red}0} \\ {\color{red}0} & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ {\color{red}0} & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $$
Drehung um die $\boldsymbol{y}$-Achse
$$ R_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & {\color{red}0} & \sin \alpha \\ {\color{red}0} & {\color{red}1} & {\color{red}0} \\ -\sin \alpha & {\color{red}0} & \cos \alpha \end{pmatrix} $$
Drehung um die $\boldsymbol{z}$-Achse
$$ R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & {\color{red}0} \\ \sin \alpha & \cos \alpha & {\color{red}0} \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}1} \end{pmatrix} $$
Arten von Drehungen
Aktive Drehungen
Bei einer aktiven Drehung wird der Vektor bewegt.
Das Koordinatensystem bleibt wie es ist.
Mathematiker sprechen in diesem Zusammenhang auch von einer geometrischen Transformation
, weil das geometrische Objekt transformiert wird.
Die Drehmatrix
$$ R_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $$
beschreibt die Drehung eines Vektors (aktive Drehung!) im mathematisch positiven Sinne (gegen den Uhrzeigersinn!).
Alle oben vorgestellten Drehmatrizen beschreiben aktive Drehungen.
Passive Drehungen
Bei einer passiven Drehung wird das Koordinatensystem gedreht.
Der Vektor bleibt wie er ist.
Mathematiker sprechen in diesem Zusammenhang auch von einer Koordinatentransformation
, da die Koordinaten in ein neues Koordinatensystem transformiert werden.
Mathematisch wird eine passive Drehung durch die Inverse der Drehmatrix, also $D^{-1}$ beschrieben.
Eine aufwändige Berechnung der Inversen entfällt jedoch, weil die Inverse einer Drehmatrix ihrer Transponieren entspricht: $D^{-1} = D^{T}$. Zur Erinnerung: Transponieren heißt, die Einträge der Matrix an ihrer Hauptdiagonalen zu spiegeln.
Die Drehmatrix
$$ R^{-1}_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $$
beschreibt die Drehung des Koordinatensystems (passive Drehung!) im mathematisch negativen Sinne (im Uhrzeigersinn!).
Anmerkung
Wenn wir einen Vektor mit dieser Matrix multiplizieren, erhalten wir denselben Vektor, jedoch mit anderen Koordinaten, weil das Koordinatensystem gedreht wurde.
