Normierte Zeilenstufenform
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die normierte Zeilenstufenform (reduzierte Zeilenstufenform) einer Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Wichtigste Begriffe
Eine Zeile, in der nur Nullen stehen, heißt Nullzeile.
Eine Zeile, in der nicht nur Nullen stehen, heißt Nichtnullzeile.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Die ersten beiden Zeilen sind Nichtnullzeilen.
Die 3. Zeile ist eine Nullzeile.
Das erste von Null verschiedene Element einer Nichtnullzeile heißt Zeilenführer dieser Zeile.
$$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 2 & 3 & 4 \\ 0 & {\color{red}6} & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\color{red}7} & 8 & 1 \\ 0 & 0 & {\color{red}3} & 3 \end{pmatrix} $$
Die Zeilenführer sind rot markiert.
Definition
Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, falls gilt:
- Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb aller Nullzeilen.
- Ein Zeilenführer steht stets in einer Spalte rechts vom Zeilenführer der Zeile darüber.
- Alle Einträge unterhalb des Zeilenführers sind Null.
Charakteristisch für die Zeilenstufenform ist, dass die Zeilenführer wie Treppenstufen angeordnet sind – also nach unten wandern. Demnach kann in einer Spalte maximal ein Zeilenführer auftreten.
$$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & {\color{red}6} & \ast & \ast & \ast \\ 0 & 0 & 0 & {\color{red}5} & \ast \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{red}7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Dabei steht $\ast$ für einen beliebigen Wert.
Eine Matrix ist in normierter Zeilenstufenform, wenn zusätzlich (!) folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Jeder Zeilenführer hat den Wert
$1$. - Jeder Zeilenführer ist der einzige Eintrag in seiner Spalte, der nicht gleich Null ist.
$$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 0 & \ast & 0 & 0 \\ 0 & {\color{red}1} & \ast & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{red}1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{red}1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Dabei steht $\ast$ für einen beliebigen Wert.
Matrix in normierte Zeilenstufenform umwandeln
Jede beliebige Matrix kann in die normierte Zeilenstufenform umgewandelt werden.
Um eine Matrix in die normierte Zeilenstufenform umzuwandeln, verwenden wir den Gauß-Jordan-Algorithmus.
Wandle die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$
in die normierte Zeilenstufenform um.
$$ \begin{array}{rrr|l} 2 & -1 & 0 & \\ -2 & 2 & -2 & \textrm{II} + \textrm{I} \\ 2 & -1 & 0 & \textrm{III} - \textrm{I} \\ \hline {\color{red}2} & -1 & 0 & \\ 0 & {\color{red}1} & -2 & \\ 0 & 0 & 0 & \end{array} $$
Die Matrix befindet sich in Zeilenstufenform.
Für die normierte Zeilenstufenform fehlen noch zwei Schritte:
$$ \begin{array}{rrr|l} {\color{red}2} & -1 & 0 & \textrm{I} + \textrm{II} \\ 0 & {\color{red}1} & -2 & \\ 0 & 0 & 0 & \\ \hline {\color{red}2} & 0 & -2 & :2 \\ 0 & {\color{red}1} & -2 & \\ 0 & 0 & 0 & \\ \hline {\color{red}1} & 0 & -1 & \\ 0 & {\color{red}1} & -2 & \\ 0 & 0 & 0 & \end{array} $$
Wandle die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$
in die normierte Zeilenstufenform um.
$$ \begin{array}{rrr|l} 1 & -1 & 2 & \\ -2 & 1 & -6 & \textrm{II} + 2 \cdot \textrm{I} \\ 1 & 0 & -2 & \textrm{III} - \textrm{I} \\ \hline 1 & -1 & 2 & \\ 0 & -1 & -2 & \\ 0 & 1 & -4 & \textrm{III} + \textrm{II} \\ \hline {\color{red}1} & -1 & 2 & \\ 0 & {\color{red}-1} & -2 & \\ 0 & 0 & {\color{red}-6} & \end{array} $$
Die Matrix befindet sich in Zeilenstufenform.
Für die normierte Zeilenstufenform fehlen noch einige Schritte:
$$ \begin{array}{rrr|l} {\color{red}1} & -1 & 2 & \\ 0 & {\color{red}-1} & -2 & \\ 0 & 0 & {\color{red}-6} & :(-6) \\ \hline {\color{red}1} & -1 & 2 & \textrm{I} - 2 \cdot \textrm{III} \\ 0 & {\color{red}-1} & -2 & \textrm{II} + 2 \cdot \textrm{III} \\ 0 & 0 & {\color{red}1} & \\ \hline {\color{red}1} & -1 & 0 & \textrm{I} - \textrm{II} \\ 0 & {\color{red}-1} & 0 & :(-1) \\ 0 & 0 & {\color{red}1} & \\ \hline {\color{red}1} & 0 & 0 & \\ 0 & {\color{red}1} & 0 & \\ 0 & 0 & {\color{red}1} \end{array} $$
Ist dir aufgefallen, dass beim letzen Beispiel am Ende die Einheitsmatrix herausgekommen ist? Das ist natürlich kein Zufall!
Die normierte Zeilenstufenform einer invertierbaren Matrix ist die Einheitsmatrix.
