Kern einer Matrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Kern einer Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Gegeben sei die Gleichung
$$ A \cdot \vec{v} = \vec{o} $$
oder ausgeschrieben
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$
Wir multiplizieren eine Matrix $A$ mit einem Vektor $\vec{v}$ und erhalten als Lösungsvektor den Nullvektor $\vec{o}$.
Der Vektor $\vec{v}$ ist dann der Kern der Matrix.
Anders formuliert:
Der Kern ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems $A \cdot \vec{v} = \vec{o}$.
Da die rechte Seite des linearen Gleichungssystems gleich Null ist, handelt es sich um ein homogenes lineares Gleichungssystem.
Kern einer Matrix berechnen
Bei quadratischen Matrizen lässt sich mithilfe der Determinante leicht herausfinden, ob ein Kern überhaupt existiert:
$$ \det(A) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Kern existiert} $$
Eine quadratische Matrix $A$ besitzt einen Kern, wenn ihre Determinante gleich Null ist.
Wäre die Determinante der quadratischen Matrix $A$ ungleich Null, so enthielte der Kern der Matrix nur den Nullvektor.
2x2 Matrix
Überprüfe, ob die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
einen Kern hat und berechne ihn gegebenenfalls.
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2 $$
Da die Determinante ungleich Null ist, besitzt diese Matrix keinen Kern (außer den Nullvektor selbst).
Überprüfe, ob die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$
einen Kern hat und berechne ihn gegebenenfalls.
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 $$
Da die Determinante gleich Null ist, besitzt diese Matrix einen Kern.
Lineares Gleichungssystem lösen
Ansatz zur Berechnung des Kerns
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
oder als Gleichungssystem geschrieben
$$ \begin{align*} v_1 + 2v_2 = 0 \\ v_1 + 2v_2 = 0 \\ \end{align*} $$
Da beide Zeilen des Gleichungssystems dieselbe Aussage treffen, reicht es, wenn wir im Folgenden nur eine Zeile betrachten.
$$ v_1 + 2v_2 = 0 \quad \text{bzw.} \quad v_1 = -2v_2 $$
Wir haben es hier mit einer Gleichung mit zwei Unbekannten zu tun. Für diese Art von Gleichungen gibt es keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele.
Die einzige Forderung, die erfüllt sein muss, heißt: $v_1 = -2v_2$.
Wenn wir jetzt $v_1 = 1$ setzen, so erhalten wir $v_2 = -0{,}5$.
Damit haben wir bereits eine Lösung gefunden:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Das ist aber nicht die einzige Lösung!
Setzen wir $v_1 = 2$, so erhalten wir $v_2 = -1$.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Fällt dir auf, nach welchem Schema man die Lösungen bildet?
Lösungsmenge aufschreiben
Der Kern der Matrix $A$ sind alle Vielfachen des Vektors
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} $$
oder in mathematischer Schreibweise
$$ \text{ker}(A) = \left\{ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} \;|\; \lambda \in \mathbb{R} \right\} $$
3x3 Matrix
Überprüfe, ob die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
einen Kern hat und berechne ihn gegebenenfalls.
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 0 $$
Da die Determinante gleich Null ist, besitzt diese Matrix einen Kern.
Lineares Gleichungssystem lösen
Ansatz zur Berechnung des Kerns
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
oder als Gleichungssystem geschrieben
$$ \begin{align*} v_1 + 2v_2 + 3v_3 &= 0 \\ 4v_1 + 5v_2 + 6v_3 &= 0 \\ 7v_1 + 8v_2 + 9v_3 &= 0 \\ \end{align*} $$
Lineare Gleichungssysteme löst man gewöhnlich mit dem Gauß-Algorithmus.
$$ \begin{array}{rrr|l} 1 & 2 & 3 & \\ 4 & 5 & 6 & \textrm{II} - 4 \cdot \textrm{I} \\ 7 & 8 & 9 & \textrm{III} - 7 \cdot \textrm{I} \\ \hline 1 & 2 & 3 & \\ 0 & -3 & -6 & \\ 0 & -6 & -12 & \textrm{III} - 2 \cdot \textrm{II} \\ \hline 1 & 2 & 3 & \\ 0 & -3 & -6 & \\ 0 & 0 & 0 & \end{array} $$
Übrig bleibt also
$$ \begin{align*} v_1 + 2v_2 + 3v_3 &= 0 \\ -3v_2 - 6v_3 &= 0 \\ 0 &= 0 \\ \end{align*} $$
Dabei handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem, das aus zwei Gleichungen und drei Unbekannten besteht. Das lineare Gleichungssystem ist folglich unterbestimmt und es gibt keine eindeutig Lösung, sondern unendlich viele.
Außerdem existiert ein Freiheitsgrad. Das bedeutet, dass wir für eine Unbekannte einen beliebigen Wert einsetzen können.
Wir setzen $v_3 = 1$. Mithilfe der 2. Zeile können wir jetzt $v_2$ berechnen.
$$ -3v_2 - 6 \cdot 1 = 0 \quad \rightarrow \quad v_2 = -2 $$
Setzen wir $v_2 = -2$ und $v_3 = 1$ in die 1. Zeile ein, so erhalten wir für $v_1$:
$$ v_1 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 0 \quad \rightarrow \quad v_1 = 1 $$
Lösungsmenge aufschreiben
Der Kern der Matrix $A$ sind alle Vielfachen des Vektors
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
oder in mathematischer Schreibweise
$$ \text{ker}(A) = \left\{ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R} \right\} $$
