Matrix diagonalisieren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine quadratische Matrix diagonalisiert.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix.
$$ D = \begin{pmatrix} {\color{red}d_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {\color{red}d_2} & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & {\color{red}\ddots} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & {\color{red}d_n} \end{pmatrix} $$
Eine Matrix zu diagonalisieren bedeutet, eine quadratische Matrix in eine Diagonalmatrix umzuwandeln.
So weit, so gut…aber warum wollen wir überhaupt Matrizen diagonalisieren?
Ganz einfach: Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix in möglichst einfacher Gestalt
.
Weitere Rechnungen wie die Matrizenaddition, die Matrizensubtraktion, die Matrizenmultiplikation, die Skalarmultiplikation sowie die Berechnung der Inversen und der Transponierten werden dadurch enorm vereinfacht.
Außerdem besitzt eine Diagonalmatrix noch folgende interessante Eigenschaften:
- Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonale.
- Der Rang einer Diagonalmatrix entspricht der Anzahl der Nichtnullzeilen.
- Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf der Hauptdiagonale mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren.
Diagonalisierbarkeit
Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn
- das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt und
- die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte übereinstimmen.
zu 1)
Wenn das charakteristische Polynom einer $n \times n$-Matrix weniger als $n$ Nullstellen besitzt, ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
zu 2)
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes entspricht der Dimension des zugehörigen Eigenraums.
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes entspricht der Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom.
Letztlich ist also zu überprüfen, ob die Dimension der einzelnen Eigenräume jeweils mit der Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle im charakteristischen Polynom übereinstimmt.
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Überprüfe, ob die Matrix diagonalisierbar ist.
Eigenwerte berechnen
Charakteristisches Polynom berechnen
$$ \begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix} (1-\lambda) & -\sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} & (-1-\lambda) & 0 \\ 0 & 0 & (1-\lambda) \end{vmatrix} \\[5px] &= (1-\lambda) \cdot (-1-\lambda) \cdot (1-\lambda) - (1-\lambda) \cdot \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) \\[5px] &= (1-\lambda) \left[(-1-\lambda) \cdot (1-\lambda) - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})\right] \\[5px] &= (1-\lambda) \left[-1 + \lambda - \lambda + \lambda^2 + 3\right] \\[5px] &= (1-\lambda) \cdot (\lambda^2 + 2) \end{align*} $$
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Da $(\lambda^2 + 2)$ keine reelle Nullstelle besitzt, zerfällt das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren.
Eigenvektoren berechnen
Da das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt, kann auf diesen Schritt verzichtet werden.
Eigenräume angeben
Da das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt, kann auf diesen Schritt verzichtet werden.
Aussage über die Diagonalisierbarkeit treffen
Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 2 & 7 & -4 \\ 3 & 9 & -5 \end{pmatrix} $$
Überprüfe, ob die Matrix diagonalisierbar ist.
Eigenwerte berechnen
Charakteristisches Polynom berechnen
$$ \chi_A(\lambda) = -(\lambda - 2)^2 \cdot (\lambda - 1) $$
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
$\lambda_1 = 1$ hat die Vielfachheit $1$.
$\lambda_2 = 2$ hat die Vielfachheit $2$.
Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren.
Eigenvektoren berechnen
Der Einfachheit halber wird an dieser Stelle auf die Angabe des Rechenwegs verzichtet.
Eigenräume angeben
$$ E_A(1) = \left\{ \lambda \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \left|\right. ~\lambda \in \mathbb{R} \right\} $$
$$ E_A(2) = \left\{ \lambda \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \left|\right. ~\lambda \in \mathbb{R} \right\} $$
Aussage über die Diagonalisierbarkeit treffen
Geometrische Vielfachheit
Die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert $2$ ist $1$.
Algebraische Vielfachheit
Die Vielfachheit der Nullstelle $2$ ist $2$.
Folgerung
$$ \text{Geometrische Vielfachheit } \neq \text{ Algebraische Vielfachheit} $$
$\Rightarrow$ Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.
Anleitung
Matrix vielleicht diagonalisierbar
Wenn nicht bekannt ist, ob die Matrix diagonalisierbar ist, lautet das Vorgehen:
Eigenwerte berechnen
Charakteristisches Polynom berechnen
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Eigenvektoren berechnen
Eigenräume angeben
Diagonalmatrix aufstellen
zu 1.2)
Weiterrechnen nur möglich, wenn das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
zu 3)
Weiterrechnen nur möglich, wenn alle geometrischen und algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen.
zu 4)
Die Eigenwerte entsprechen den Einträgen auf der Hauptdiagonale. Die Anordnung der Eigenwerte ist dabei beliebig.
Matrix diagonalisierbar
Wenn bekannt ist, dass die Matrix diagonalisierbar ist, verkürzt sich das Vorgehen zu:
Eigenwerte berechnen
Charakteristisches Polynom berechnen
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Diagonalmatrix aufstellen
zu 2)
Die Eigenwerte entsprechen den Einträgen auf der Hauptdiagonale. Die Anordnung der Eigenwerte ist dabei beliebig.
Beispiele
Gegeben sei die diagonalisierbare Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
Diagonalisiere die Matrix.
Eigenwerte berechnen
Charakteristisches Polynom berechnen
$$ \begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix} (3-\lambda) & 0 & 0 \\ 1 & (2-\lambda) & 2 \\ 1 & 0 & (4-\lambda) \end{vmatrix} \\[5px] &= (3-\lambda) \cdot (2-\lambda) \cdot (4-\lambda) \end{align*} $$
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Nach dem Satz vom Nullprodukt können wir die Nullstellen hier einfach ablesen:
$$ \lambda_1 = 3 $$
$$ \lambda_2 = 2 $$
$$ \lambda_3 = 4 $$
Diagonalmatrix aufstellen
Da die Anordnung der Eigenwerte auf der Hauptdiagonale beliebig ist, gibt es in diesem Fall $6$ verschiedene Möglichkeiten, die Diagonalmatrix aufzustellen. Wir entscheiden uns für:
$$ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
Gegeben sei die diagonalisierbare Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $$
Diagonalisiere die Matrix.
Eigenwerte berechnen
Charakteristisches Polynom berechnen
$$ \begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix} (3-\lambda) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda) \end{vmatrix} \\[5px] &= (3-\lambda) \cdot (0-\lambda) \cdot (-1-\lambda) - (-1-\lambda) \cdot 2 \cdot (-1) \\[5px] &= -\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2 \end{align*} $$
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Die kubische Gleichung hat die Lösungen
$$ \lambda_1 = 1 $$
$$ \lambda_2 = 2 $$
$$ \lambda_3 = -1 $$
Diagonalmatrix aufstellen
Da die Anordnung der Eigenwerte auf der Hauptdiagonale beliebig ist, gibt es in diesem Fall $6$ verschiedene Möglichkeiten, die Diagonalmatrix aufzustellen. Wir entscheiden uns für:
$$ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$
