Eigenraum
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Eigenraum einer Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Der Eigenraum $\boldsymbol{E_A(\lambda)}$ der Matrix $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.
Beispiel
Das folgende Beispiel ist eine Fortsetzung des Beispiels aus dem Kapitel Eigenvektoren berechnen.
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $$
Gib die Eigenräume der Matrix an.
Eigenwerte berechnen
Die Matrix $A$ besitzt die Eigenwerte $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$ und $\lambda_3 = -1$.
Eigenvektoren berechnen
Zu dem Eigenwert $\lambda_1 = 1$ gehört der Eigenvektor
$\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und alle seine Vielfachen.
Zu dem Eigenwert $\lambda_2 = 2$ gehört der Eigenvektor
$\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und alle seine Vielfachen.
Zu dem Eigenwert $\lambda_3 = -1$ gehört der Eigenvektor
$\vec{x}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und alle seine Vielfachen.
Eigenräume angeben
Die Eigenräume erhalten wir, wenn wir die obigen Zwischenergebnisse in Mengenschreibweise festhalten.
Zu dem Eigenwert ${\fcolorbox{Red}{}{$\lambda_1 = 1$}}$ gehört der Eigenraum
$$ E_A(1) \left\{ k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \left|\right. ~k \in \mathbb{R} \right\} $$
gesprochen:
$$ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}E_A(1)}_\text{Der Eigenraum von A zum Eigenwert 1}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\{}_\text{die Menge aller}~~ \underbrace{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_\text{k mal Vektor 1 2 1}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}k \in \mathbb{R}}_\text{k ist Element von R}~~ \} $$
Zu dem Eigenwert ${\fcolorbox{Red}{}{$\lambda_2 = 2$}}$ gehört der Eigenraum
$$ E_A(2) = \left\{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \left|\right. ~k \in \mathbb{R}\right\} $$
gesprochen:
$$ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}E_A(2)}_\text{Der Eigenraum von A zum Eigenwert 2}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\{}_\text{die Menge aller}~~ \underbrace{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_\text{k mal Vektor 1 1 0}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}k \in \mathbb{R}}_\text{k ist Element von R}~~ \} $$
Zu dem Eigenwert ${\fcolorbox{Red}{}{$\lambda_3 = -1$}}$ gehört der Eigenraum
$$ E_A(-1) = \left\{ k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \left|\right. ~k \in \mathbb{R} \right\} $$
gesprochen:
$$ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}E_A(-1)}_\text{Der Eigenraum von A zum Eigenwert -1}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\{}_\text{die Menge aller}~~ \underbrace{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_\text{k mal Vektor 0 0 1}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}k \in \mathbb{R}}_\text{k ist Element von R}~~ \} $$
