Kofaktormatrix
In diesem Kapitel lernen wir, wie man die Kofaktormatrix aufstellt.
Erforderliches Vorwissen
Definition
$$ \text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{pmatrix} $$
Die Elemente der Kofaktormatrix $\text{Cof}(A)$ sind die entsprechenden Kofaktoren.
Anleitung
Kofaktoren berechnen
Kofaktormatrix aufstellen
zu 1)
$$ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij} $$
Dabei ist $A_{ij}$ der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors $(-1)^{i+j}$ mit einer Unterdeterminante $D_{ij}$ zusammensetzt.
Beispiele
Kofaktormatrix einer 2x2 Matrix
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$
Berechne die Kofaktormatrix.
Kofaktoren berechnen
$$ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a} & \bcancel{b} \\ \bcancel{c} & {\color{red}d} \end{vmatrix} = {\color{blue}d} $$
$$ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a} & \bcancel{b} \\ {\color{red}c} & \bcancel{d} \end{vmatrix} = {\color{blue}-c} $$
$$ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a} & {\color{red}b} \\ \bcancel{c} & \bcancel{d} \end{vmatrix} = {\color{blue}-b} $$
$$ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} {\color{red}a} & \bcancel{b} \\ \bcancel{c} & \bcancel{d} \end{vmatrix} = {\color{blue}a} $$
Kofaktormatrix aufstellen
$$ \text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}d} & {\color{blue}-c} \\ {\color{blue}-b} & {\color{blue}a} \end{pmatrix} $$
Kofaktormatrix einer 3x3 Matrix
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$
Berechne die Kofaktormatrix.
Kofaktoren berechnen
$$ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a} & \bcancel{b} & \bcancel{c} \\ \bcancel{d} & {\color{blue}e} & {\color{blue}f} \\ \bcancel{g} & {\color{blue}h} & {\color{blue}i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} $$
$$ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a} & \bcancel{b} & \bcancel{c} \\ {\color{blue}d} & \bcancel{e} & {\color{blue}f} \\ {\color{blue}g} & \bcancel{h} & {\color{blue}i} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} $$
$$ A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a} & \bcancel{b} & \bcancel{c} \\ {\color{blue}d} & {\color{blue}e} & \bcancel{f} \\ {\color{blue}g} & {\color{blue}h} & \bcancel{i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} $$
$$ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a} & {\color{red}b} & {\color{red}c} \\ \bcancel{d} & \bcancel{e} & \bcancel{f} \\ \bcancel{g} & {\color{red}h} & {\color{red}i} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} $$
$$ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} {\color{red}a} & \bcancel{b} & {\color{red}c} \\ \bcancel{d} & \bcancel{e} & \bcancel{f} \\ {\color{red}g} & \bcancel{h} & {\color{red}i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} $$
$$ A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} {\color{red}a} & {\color{red}b} & \bcancel{c} \\ \bcancel{d} & \bcancel{e} & \bcancel{f} \\ {\color{red}g} & {\color{red}h} & \bcancel{i} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} $$
$$ A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a} & {\color{blue}b} & {\color{blue}c} \\ \bcancel{d} & {\color{blue}e} & {\color{blue}f} \\ \bcancel{g} & \bcancel{h} & \bcancel{i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} $$
$$ A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} {\color{blue}a} & \bcancel{b} & {\color{blue}c} \\ {\color{blue}d} & \bcancel{e} & {\color{blue}f} \\ \bcancel{g} & \bcancel{h} & \bcancel{i} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} $$
$$ A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} {\color{blue}a} & {\color{blue}b} & \bcancel{c} \\ {\color{blue}d} & {\color{blue}e} & \bcancel{f} \\ \bcancel{g} & \bcancel{h} & \bcancel{i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} $$
Kofaktormatrix aufstellen
$$ \text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$
