Transponierte Matrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine transponierte Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Voraussetzung
Es gibt keine Voraussetzungen. Jede beliebige Matrix lässt sich transponieren.
Definition
Die transponierte Matrix $\boldsymbol{A^{T}}$ erhält man durch Vertauschen der Zeilen und Spalten der Matrix $A$.
Matrix transponieren
Alle drei Verfahren, die im Folgenden besprochen werden, führen zu demselben Ergebnis.
Möglichkeit 1
Eine Matrix wird transponiert, indem man aus den Zeilen Spalten macht.
Aus der 1. Zeile der Matrix A wird die 1. Spalte der transponierten Matrix $A^{T}$…usw.
$$ A = \begin{pmatrix} {\color{red}2} & {\color{red}3} & {\color{red}0} \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} {\color{red}2} & 1 \\ {\color{red}3} & 4 \\ {\color{red}0} & 5 \end{pmatrix} $$
Möglichkeit 2
Eine Matrix wird transponiert, indem man aus den Spalten Zeilen macht.
Aus der 1. Spalte der Matrix A wird die 1. Zeile der transponierten Matrix $A^{T}$…usw.
$$ A = \begin{pmatrix} {\color{red}2} & {\color{blue}3} & 0 \\ {\color{red}1} & {\color{blue}4} & 5 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} {\color{red}2} & {\color{red}1} \\ {\color{blue}3} & {\color{blue}4} \\ 0 & 5 \end{pmatrix} $$
Möglichkeit 3
Eine Matrix wird transponiert, indem man die Matrix an der Hauptdiagonale spiegelt.
$$ A = \begin{pmatrix} {\color{red}2} & {\color{blue}3} & {\color{blue}0} \\ 1 & {\color{red}4} & {\color{blue}5} \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} {\color{red}2} & 1 \\ {\color{blue}3} & {\color{red}4} \\ {\color{blue}0} & {\color{blue}5} \end{pmatrix} $$
Die Elemente der Hauptdiagonale ($a_{11}, a_{22}$ …) sind in obigem Beispiel in rot dargestellt.
Rechenregeln
$$ \left(A^{T}\right)^{T} = A $$
Zweimaliges Transponieren einer Matrix führt wieder zur ursprünglichen Matrix.
$$ \left(A + B\right)^{T} = A^{T} + B^{T} $$
Die Transponierte einer Summe von Matrizen entspricht der Summe aus den Transponierten der Matrizen.
$$ \left(A \cdot B\right)^{T} = B^{T} \cdot A^{T} $$
Die Transponierte eines Matrizenproduktes entspricht dem Produkt der transponierten Matrizen – in umgekehrter Reihenfolge (!).
Symmetrische Matrizen
Gilt $A = A^{T}$, so heißt die Matrix $A$ symmetrisch.
Antisymmetrische Matrizen
Gilt $A = -A^{T}$, so heißt die Matrix $A$ antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch.
