Bild einer Matrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das Bild einer Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Gegeben sei die Gleichung
$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$
oder ausgeschrieben
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} $$
Wir multiplizieren eine Matrix $A$ mit einem Vektor $\vec{x}$ und erhalten den Lösungsvektor $\vec{b}$.
Das Bild einer Matrix gibt an, welche Menge an Vektoren als Lösungen auftreten können.
Bei Funktionen würde man Wertemenge (oder Wertebereich) dazu sagen. Das Bild einer Matrix kann man sich also als die Wertemenge der Matrix vorstellen.
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$
Diese Matrix multiplizieren wir jetzt nacheinander mit den drei Einheitsvektoren des $\mathbb{R}^3$ und schauen, was passiert.
$$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 3 & 2 \\ {\color{red}2} & 4 & 4 \\ {\color{red}3} & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}1} \\ {\color{red}2} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & {\color{red}3} & 2 \\ 2 & {\color{red}4} & 4 \\ 3 & {\color{red}5} & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}3} \\ {\color{red}4} \\ {\color{red}5} \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & {\color{red}2} \\ 2 & 4 & {\color{red}4} \\ 3 & 5 & {\color{red}6} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}2} \\ {\color{red}4} \\ {\color{red}6} \end{pmatrix} $$
Wir erhalten die drei Spaltenvektoren unserer Matrix $A$.
Diese drei Vektoren sind ein (!) Bild, d. h. ein Teil der Wertemenge, der Matrix $A$.
Bevor wir weitermachen, halten wir unser Zwischenergebnis in mathematischer Schreibweise fest:
$$ \text{img}(A) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \; \dots \right\} $$
Es gibt jedoch noch mehr Bilder. Genauer gesagt, gibt es unendlich viele Bilder. Das lässt sich leicht zeigen, wenn wir die Matrix mit einem beliebigen Vektor multiplizieren:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & {\color{red}2} \\ 2 & 4 & {\color{red}4} \\ 3 & 5 & {\color{red}6} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}8} \\ {\color{red}12} \end{pmatrix} $$
Auch dieser Vektor gehört zum Bild der Matrix.
$$ \text{img}(A) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}, \; \dots \right\} $$
Wir haben gerade festgestellt, dass es unendlich viele Bilder einer Matrix gibt. Alle Vektoren, die aus der Multiplikation der Matrix $A$ mit einem beliebigen Vektor hervorgehen, gehören zum Bild der Matrix. Diese Lösungsvektoren haben jedoch – wie gerade gezeigt wurde – eine bestimmte Gestalt: Die letzten beiden Vektoren sind z. B. Vielfache voneinander. Allgemein kann man sagen, dass alle Linearkombinationen dieser Vektoren auch zum Bild der Matrix gehören. Mit diesem Wissen können wir den vierten Vektor bedenkenlos aus dem Bild streichen, da der dritte Vektor diesen gewissermaßen miteinschließt.
$$ \text{img}(A) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \; \dots \right\} $$
Stopp! Der dritte Vektor ist ein Vielfaches des ersten Vektors! Was machen wir mit diesem Vektor folglich? Richtig, auch von der Liste streichen.
$$ \text{img}(A) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \; \dots \right\} $$
Die verbleibenden beiden Vektoren sind nicht Vielfache voneinander. Mathematisch gesprochen: Die beiden Vektoren sind linear unabhängig. Wir können das Bild an dieser Stelle nicht weiter vereinfachen, ohne einen Teil der Lösungsmenge zu verlieren. Die Lösungsmenge besteht jetzt also aus diesen beiden Vektoren sowie ihren Linearkombinationen (d. h. auch ihren Vielfachen).
Um das Ergebnis korrekt aufzuschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten:
$$ (1) \quad \text{img}(A) = \left\{ \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +\lambda_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \left\vert \vphantom{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}} \; \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \right. \right\} $$
$$ (2) \quad \text{img}(A) = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \right\rangle $$
Die zweite Schreibweise ist die abgekürzende Form der ersten Schreibweise und wird deshalb häufiger verwendet. Die spitzen Klammern zeigen an, dass es sich um eine lineare Hülle handelt.
Die lineare Hülle (auch Spann genannt) der Vektoren $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots , \vec{v}_k$ ist definiert als die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots ,\vec{v}_k$.
Wir halten fest:
Die linear unabhängigen Spalten einer Matrix heißen Bild der Matrix.
Bild einer Matrix berechnen
Im Folgenden lernen wir drei Verfahren kennen, um die linear unabhängigen Spalten einer Matrix zu berechnen. Das dritte Verfahren ist wohl am einfachsten.
Verfahren 1
Matrix transponieren
Matrix in obere Dreiecksmatrix umwandeln
Matrix transponieren
Lösung aufschreiben
zu 1)
zu 2)
Dazu verwenden wir den Gauß-Algorithmus.
zu 4)
Alle Spalten, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen, gehören zum Bild der Matrix.
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$
Berechne das Bild der Matrix.
Matrix transponieren
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$
Matrix in Zeilenstufenform umwandeln
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} \end{pmatrix} $$
Matrix transponieren
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & {\color{red}0} \\ 2 & -2 & {\color{red}0} \\ 3 & -4 & {\color{red}0} \end{pmatrix} $$
Lösung aufschreiben
$$ \text{img}(A) = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \right\rangle $$
Da sich zwei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, hat das Bild der Matrix die Dimension $2$.
Damit haben wir auch direkt den Rang der Matrix berechnet, denn dieser entspricht der Dimension des Bildes:
$$ \text{rang}(A) = \text{dim}(\text{img}(A)) = 2 $$
Verfahren 2
Man kann sich das zweimalige Transponieren der Matrix sparen, wenn man mithilfe des Gauß-Algorithmus statt einer oberen Dreiecksmatrix eine untere Dreiecksmatrix erzeugt. Es sollen also die Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null werden. Entscheidend ist jedoch, dass man statt Zeilenumformungen nur Spaltenumformungen durchführen darf. Dies kann zunächst sehr ungewohnt sein.
Matrix in untere Dreiecksmatrix umwandeln
Lösung aufschreiben
zu 1)
Wir dürfen Spalten (!)
- addieren / subtrahieren
- mit einer Zahl multiplizieren / durch eine Zahl dividieren
- vertauschen*
zu 2)
Alle Spalten, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen, gehören zum Bild der Matrix.
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} $$
Berechne das Bild der Matrix.
Matrix in untere Dreiecksmatrix umwandeln
3. Spalte + 1. Spalte
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & {\color{blue}0} \\ -2 & -6 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$
2. Spalte - $2\,\cdot$ 1. Spalte
$$ \begin{pmatrix} 1 & {\color{blue}0} & {\color{blue}0} \\ -2 & -2 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{pmatrix} $$
3. Spalte - $0{,}5\,\cdot$ 2. Spalte
$$ \begin{pmatrix} 1 & {\color{blue}0} & {\color{blue}0} \\ -2 & -2 & {\color{blue}0} \\ 1 & -4 & 3 \end{pmatrix} $$
Lösung aufschreiben
$$ \text{img}(A) = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle $$
Da sich drei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, hat das Bild der Matrix die Dimension $3$.
Damit haben wir auch direkt den Rang der Matrix berechnet, denn dieser entspricht der Dimension des Bildes:
$$ \text{rang}(A) = \text{dim}(\text{img}(A)) = 3 $$
Verfahren 3
Matrix in obere Dreiecksmatrix umwandeln
Linear unabhängige Spalten mithilfe der Köpfe bestimmen
Lösung aufschreiben
zu 1)
Dazu verwenden wir den Gauß-Algorithmus.
zu 2)
Der erste Eintrag einer Zeile ungleich Null heißt Kopf dieser Zeile.
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$
Berechne das Bild der Matrix.
Matrix in Zeilenstufenform umwandeln
$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Linear unabhängige Spalten mithilfe der Köpfe bestimmen
Es gibt zwei Köpfe, die im Folgenden farblich hervorgehoben sind:
$$ \begin{pmatrix} {\color{blue}1} & 3 & 2 \\ 0 & {\color{blue}-2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Da sich die Köpfe in der 1. und 2. Spalte befinden, sind diese beiden Spalten der ursprünglichen (!) Matrix die linear unabhängigen Spalten.
$$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & {\color{red}3} & 2 \\ {\color{red}2} & {\color{red}4} & 4 \\ {\color{red}3} & {\color{red}5} & 6 \end{pmatrix} $$
Lösung aufschreiben
Die linear unabhängigen Spalten bilden das Bild der Matrix.
$$ \text{img}(A) = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \right\rangle $$
Da sich zwei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, hat das Bild der Matrix die Dimension $2$.
Damit haben wir auch direkt den Rang der Matrix berechnet, denn dieser entspricht der Dimension des Bildes:
$$ \text{rang}(A) = \text{dim}(\text{img}(A)) = 2 $$
Anmerkung
Obwohl in den Beispielen zu Verfahren 1 und 3 die gleiche Matrix untersucht wurde, haben wir ein – auf den ersten Blick – unterschiedliches Ergebnis erhalten:
Bild der Matrix aus Verfahren 1
$$ \text{img}(A) = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \right\rangle $$
Bild der Matrix aus Verfahren 3
$$ \text{img}(A) = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \right\rangle $$
Haben wir uns vielleicht verrechnet? Nein!
Zur Erinnerung: Das Ergebnis ist die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren. Daraus folgt, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, das Bild einer bestimmten Matrix aufzuschreiben. Es ist deshalb eher die Regel als die Ausnahme, dass uns unterschiedliche Verfahren unterschiedliche Vertreter dieser unendlichen (!) Menge liefern.
