Eigenwerte berechnen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Eigenwerte einer Matrix berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Eigenwertproblem
Wir multiplizieren eine Matrix $A$ mit einem Vektor $\vec{x}$ und erhalten als Ergebnis das $\lambda$-fache vom Vektor $\vec{x}$:
$$ A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x} $$
Dabei ist $\vec{x}$ der Eigenvektor und $\lambda$ der Eigenwert der Matrix $A$.
Ausgeschrieben lautet die obige Gleichung
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Wir multiplizieren die Gleichung aus und erhalten folgendes Gleichungssystem
$$ \begin{align*} a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y = \lambda \cdot x \\ a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y = \lambda \cdot y \end{align*} $$
Jetzt bringen wir alle Terme auf die linke Seite
$$ \begin{align*} (a_{11} - \lambda) \cdot x + a_{12} \cdot y = 0 \\ a_{21} \cdot x + (a_{22} - \lambda) \cdot y = 0 \end{align*} $$
Wir sehen sofort, dass das Gleichungssystem für $x = 0$ und $y = 0$ erfüllt ist. Es handelt sich hierbei um die sog. triviale Lösung. Wir haben vorausgesetzt, dass der Vektor $\vec{x}$ nicht Null sein darf. Uns interessiert also ausschließlich die nichttriviale Lösung.
Eine nichttriviale Lösung existiert genau dann, wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet (d. h. gleich Null wird):
$$ \begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix} (a_{11} - \lambda) & a_{12} \\ a_{21} & (a_{22} - \lambda) \end{vmatrix} \\[5px] &= (a_{11} - \lambda) \cdot (a_{22} - \lambda) - a_{21} \cdot a_{12} \\[5px] &= \lambda^2 - (a_{11}+a_{22}) \cdot \lambda + a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} \end{align*} $$
Diese Gleichung heißt charakteristisches Polynom und ist in diesem Fall eine quadratische Gleichung ($\lambda$ ist die Unbekannte). Jetzt müsste man die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung z. B. mithilfe der Mitternachtsformel berechnen.
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.
Beispiele
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} $$
Berechne die Eigenwerte der Matrix.
Rechenansatz aufstellen
$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Ausmultiplizieren
$$ \begin{align*} 3 \cdot x + 0 \cdot y = \lambda \cdot x \\ -9 x + 6 \cdot y = \lambda \cdot y \end{align*} $$
Alle Terme auf die linke Seite bringen
$$ \begin{align*} (3 - \lambda) \cdot x + 0 \cdot y = 0 \\ -9 \cdot x + (6 - \lambda) \cdot y = 0 \end{align*} $$
Charakteristisches Polynom berechnen
$$ \begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix} (3 - \lambda) & 0 \\ -9 & (6 - \lambda) \end{vmatrix} \\[5px] &= (3 - \lambda) \cdot (6 - \lambda) - (-9) \cdot 0 \\[5px] & = \lambda^2 - 9\lambda + 18 \end{align*} $$
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Mithilfe der Mitternachtsformel berechnen wir die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zu
$$ \lambda_1 = 3 $$
$$ \lambda_2 = 6 $$
Dabei handelt es sich um die beiden Eigenwerte der Matrix $A$.
Anmerkung
Im nächsten Kapitel schauen wir uns an, wie man die Eigenvektoren der Matrix berechnet.
In obigen Beispiel haben wir die einzelnen Schritte sehr ausführlich dargestellt. Wir können uns eine Menge Schreibarbeit sparen, wenn wir uns auf das Wesentliche konzentrieren:
Charakteristisches Polynom berechnen
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $$
Berechne die Eigenwerte der Matrix.
Charakteristisches Polynom berechnen
$$ \begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix} (3-\lambda) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda) \end{vmatrix} \\[5px] &= (3-\lambda) \cdot (0-\lambda) \cdot (-1-\lambda) - (-1-\lambda) \cdot 2 \cdot (-1) \\[5px] &= -\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2 \end{align*} $$
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Die kubische Gleichung hat die Lösungen
$$ \lambda_1 = 1 $$
$$ \lambda_2 = 2 $$
$$ \lambda_3 = -1 $$
Dabei handelt es sich um die Eigenwerte der Matrix $A$.
Herleitung des charakteristischen Polynoms
In vielen Lehrbüchern wird die Determinante zur Berechnung des charakteristischen Polynoms oftmals folgendermaßen hergeleitet:
$$ A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x} $$
$$ A \cdot \vec{x} - \lambda \cdot \vec{x} = 0 \qquad |\, \cdot E $$
$$ E \cdot A \cdot \vec{x} - E \cdot \lambda \cdot \vec{x} = 0 $$
$$ (E \cdot A - E \cdot \lambda) \cdot \vec{x} = 0 \qquad |\, E \cdot A = A $$
$$ (A - E \cdot \lambda) \cdot \vec{x} = 0 $$
$$ \det(A - E \cdot \lambda) = 0 $$
Diese Determinante entspricht der Determinante, die wir bereits oben zur Berechnung des charakteristischen Polynoms verwendet haben.
