Determinante
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Determinanten sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Matrix?
Definition
Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist.
Gegeben ist eine quadratische Matrix $A$
$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$
Die Determinante der Matrix $A$ ist
$$ \det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix} $$
Auf den ersten Blick unterscheidet sich eine Determinante nur durch eine andere Schreibweise von einer Matrix. Im Gegensatz zu Matrizen lassen sich Determinanten jedoch berechnen.
Berechnung
In Abhängigkeit von der Dimension der Determinante gibt es verschiedene Vorgehensweisen bei der Berechnung. Für 2x2 und 3x3 Determinanten gibt es jeweils eine eigene Formel. Für Determinanten, die mehr als 3 Zeilen und Spalten haben, eignen sich der Laplace’sche Entwicklungssatz sowie der Gauß-Algorithmus.
- 2x2 Determinanten berechnen
- 3x3 Determinanten berechnen
- Laplace Entwicklungssatz
- Determinanten berechnen mithilfe des Gauß-Algorithmus
Eigenschaften
$$ |A| = |A^T| $$
In Worten: Die Determinante einer Matrix und die Determinante ihrer Transponierten sind identisch.
$$ \begin{vmatrix} {\color{blue}a_1} & {\color{blue}a_2} & {\color{blue}a_3} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ {\color{blue}a_1} & {\color{blue}a_2} & {\color{blue}a_3} \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = -\left[ -\begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ {\color{blue}a_1} & {\color{blue}a_2} & {\color{blue}a_3} \end{vmatrix}\right] $$
In Worten: Vertauscht man zwei Zeilen (oder zwei Spalten) einer Matrix, ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Vertauscht man drei Zeilen (oder drei Spalten), ändert sich das Vorzeichen nicht.
$$ \begin{vmatrix} {\color{blue}\lambda}\cdot a_1 & {\color{blue}\lambda}\cdot a_2 & {\color{blue}\lambda}\cdot a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\color{blue}\lambda}\cdot a_1 & a_2 & a_3 \\ {\color{blue}\lambda}\cdot b_1 & b_2 & b_3 \\ {\color{blue}\lambda}\cdot c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = {\color{blue}\lambda} \cdot \det(D) $$
In Worten: Multipliziert man eine Zeile (oder eine Spalte) der Matrix mit einer Zahl, wird die Determinante auch mit dieser Zahl multipliziert.
$$ |A \cdot B| = |A| \cdot |B| $$
In Worten: Die Determinante eines Produktes zweier Matrizen entspricht dem Produkt ihrer Determinanten.
Eine Determinante ist gleich Null, wenn
eine Zeile/Spalte nur aus Nullen besteht
zwei Zeilen/Spalten gleich sind
eine Zeile/Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen/Spalten ist
Anwendungen
- Lineare Gleichungssysteme lösen mithilfe der Cramerschen Regel
- Inverse Matrix berechnen mithilfe der Cramerschen Regel
- Rang einer Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten
- Inverse Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten
