Inverse Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die inverse Matrix mithilfe der Adjunkte berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Formel
$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A) $$
Symbolverzeichnis
$|A|$ist die Determinante der Matrix$A$.$\text{Adj}(A)$ist die Adjunkte der Matrix$A$.
Da die Adjunkte die Transponierte der Kofaktormatrix ist, können wir die obige Formel umschreiben zu
$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Cof}(A)^{T} $$
Anleitung
Determinante berechnen
Kofaktoren berechnen
Kofaktormatrix aufstellen
Kofaktormatrix transponieren
Inverse Matrix berechnen
zu 1)
Gilt $|A| = 0$, ist die Matrix $A$ nicht invertierbar.
zu 2)
$$ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij} $$
Dabei ist $A_{ij}$ der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors $(-1)^{i+j}$ mit einer Unterdeterminante $D_{ij}$ zusammensetzt.
zu 3)
Die Elemente der Kofaktormatrix $\text{Cof}(A)$ sind die entsprechenden Kofaktoren.
zu 4)
Eine Matrix wird transponiert, indem man die Matrix an der Hauptdiagonale spiegelt.
Beispiel
Berechne die Inverse der Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} $$
mithilfe der Adjunkten.
Determinante berechnen
$$ A = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 4 \cdot 7 - 5 \cdot 3 = 13 $$
Da die Determinante ungleich Null ist, ist die Matrix $A$ invertierbar und wir können weiterrechnen.
Kofaktoren berechnen
$$ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{4} & \bcancel{3} \\ \bcancel{5} & {\color{red}7} \end{vmatrix} = {\color{blue}7} $$
$$ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{4} & \bcancel{3} \\ {\color{red}5} & \bcancel{7} \end{vmatrix} = {\color{blue}-5} $$
$$ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{4} & {\color{red}3} \\ \bcancel{5} & \bcancel{7} \end{vmatrix} = {\color{blue}-3} $$
$$ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} {\color{red}4} & \bcancel{3} \\ \bcancel{5} & \bcancel{7} \end{vmatrix} = {\color{blue}4} $$
Kofaktormatrix aufstellen
$$ \text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}7} & {\color{blue}-5} \\ {\color{blue}-3} & {\color{blue}4} \end{pmatrix} $$
Kofaktormatrix transponieren
$$ \text{Adj}(A) = \text{Cof}(A)^{T} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}7} & -3 \\ -5 & {\color{blue}4} \end{pmatrix} $$
Inverse Matrix berechnen
$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A) = \frac{1}{13} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}7} & -3 \\ -5 & {\color{blue}4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{13} & -\frac{3}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{4}{13} \end{pmatrix} $$
Anmerkung
$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{7}{13} & -\frac{3}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{4}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$
