Orthogonale Matrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine orthogonale Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition 1
Eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal zueinander sind, heißt orthogonale Matrix.
Orthonormale Vektoren
Zwei Vektoren heißen orthonormal zueinander, wenn
- die Vektoren orthogonal zueinander sind und
- die Vektoren normiert sind.
zu 1)
Im $\mathbb{R}^2$ bzw. $\mathbb{R}^3$ bedeutet orthogonal, dass die Vektoren senkrecht – also im $90^\circ$ Winkel – aufeinanderstehen. Rechnerisch sind zwei Vektoren orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.
zu 2)
Ein Vektor ist normiert, wenn er die Länge $1$ besitzt. Ein normierter Vektor heißt auch Einheitsvektor.
Definition 2
Mit diesem Wissen können wir die Definition umformulieren zu:
Bilden die Spalten einer quadratischen Matrix ein System zueinander orthogonaler Einheitsvektoren, so heißt diese Matrix orthogonale Matrix.
Anmerkung
Im vorherigen Abschnitt haben wir gelernt, dass Vektoren, die nicht nur orthogonal zueinander stehen, sondern auch normiert sind, als orthonormale Vektoren bezeichnet werden. Die in diesem Kapitel beschriebene Matrix müsste also orthonormale Matrix heißen. Dieser Begriff ist allerdings unüblich.
Eigenschaften
Eine orthogonale Matrix wird allgemein häufig mit dem Buchstaben $Q$ bezeichnet.
$$ Q \cdot Q^{T} = E $$
Das Produkt einer orthogonalen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix.
$$ \det(Q) = \pm 1 $$
Die Determinante einer orthogonalem Matrix nimmt entweder den Wert $-1$ oder $+1$ an.
Anwendungen
Orthogonale Matrizen stellen sog. Kongruenzabbildungen dar. Dabei handelt es sich um Abbildungen, die weder die Form noch die Größe des geometrischen Objekts verändern. Zu den Kongruenzabbildungen gehören Spiegelungen und Drehungen.
Durch Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix können Vektoren gedreht oder gespiegelt werden. Die Länge der Vektoren und der Winkel zwischen den Vektoren bleibt dabei erhalten.
Beispiele orthogonaler Matrizen
Eine orthogonale Matrix mit der Determinante $-1$ beschreibt eine Drehspiegelung.
Man spricht dann auch von einer uneigentlich orthogonalen Matrix.
Die orthogonale Matrix
$$ Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
beschreibt eine Spiegelung an der Gerade $y = x$. Diese Spiegelung vertauscht die $x_1$- und $x_2$-Komponente eines Vektors:
$$ Q \cdot x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} $$
Eine orthogonale Matrix mit der Determinante $+1$ beschreibt eine Drehung.
Man spricht dann auch von einer eigentlich orthogonalen Matrix.
Eine orthogonale Matrix, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmatrix.
Drehmatrizen schauen wir uns im nächsten Kapitel genauer an.
Auf Orthogonalität prüfen
Wenn du eine Matrix vor dir hast und überprüfen sollst, ob es sich um eine orthogonale Matrix handelt, ist es am einfachsten, wenn du die Eigenschaft $Q \cdot Q^{T} = E$ überprüfst.
Handelt es sich bei der Matrix $A$ um eine orthogonale Matrix?
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Wir prüfen…
$$ A \cdot A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$
…und kommen zu dem Ergebnis, dass es sich bei der Matrix $A$ um eine orthogonale Matrix handelt.
Anmerkung
Möchtest du zusätzlich noch wissen, ob es sich um eine
- uneigentlich orthogonale Matrix (Drehspiegelung; Determinante =
$-1$) oder eine - eigentlich orthogonale Matrix (Drehung; Determinante =
$+1$)
handelt, musst du die Determinante der Matrix berechnen.
