Eigenvektoren berechnen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Eigenvektoren einer Matrix berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Beispiele
Gauß-Algorithmus
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $$
Berechne die Eigenvektoren der Matrix.
Eigenwerte berechnen
Charakteristisches Polynom berechnen
$$ \begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix} (3-\lambda) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda) \end{vmatrix} \\[5px] &= (3-\lambda) \cdot (0-\lambda) \cdot (-1-\lambda) - (-1-\lambda) \cdot 2 \cdot (-1) \\[5px] &= -\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2 \end{align*} $$
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Die kubische Gleichung hat die Lösungen
$$ \lambda_1 = 1 $$
$$ \lambda_2 = 2 $$
$$ \lambda_3 = -1 $$
Dabei handelt es sich um die Eigenwerte der Matrix $A$.
Eigenvektoren berechnen
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $$
Der zu einem Eigenwert $\lambda_i$ gehörende Eigenvektor ${\color{red}x_i}$ ist die Lösung der Gleichung
$$ (A-\lambda_i E) \cdot {\color{red}x_i} = 0 $$
oder ausgeschrieben
$$ \left[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} -\lambda_i \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}x} \\ {\color{red}y} \\ {\color{red}z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \left[ \begin{pmatrix} (3-\lambda_i) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda_i) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda_i) \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}x} \\ {\color{red}y} \\ {\color{red}z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \left[ \begin{pmatrix} (3-\lambda_i){\color{red}x} & -1{\color{red}y} & 0{\color{red}z} \\ 2{\color{red}x} & (0-\lambda_i){\color{red}y} & 0{\color{red}z} \\ -2{\color{red}x} & 2{\color{red}y} & (-1-\lambda_i){\color{red}z} \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Dieses Gleichungssystem lösen wir mithilfe des Gauß-Algorithmus.
Um Schreibarbeit zu sparen, lassen wir dabei überflüssige Informationen weg. Übrig bleibt:
$$ \begin{pmatrix} (3-{\color{blue}\lambda_i}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}\lambda_i}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}\lambda_i}) \end{pmatrix} $$
Im Folgenden berechnen wir nacheinander die Eigenvektoren zu den Eigenwerten $\lambda_1$, $\lambda_2$ und $\lambda_3$.
$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}\lambda_1 = 1}$} $$
$$ \begin{pmatrix} (3-{\color{blue}1}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}1}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{array}{rrr|l} 2 & -1 & 0 & \\ 2 & -1 & 0 & \textrm{II} - \textrm{I} \\ -2 & 2 & -2 & \textrm{III} + \textrm{I} \\ \hline 2 & -1 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & \textrm{II und III vertauschen} \\ 0 & 1 & -2 & \\ \hline 2 & -1 & 0 & \\ 0 & 1 & -2 & \\ 0 & 0 & 0 & \end{array} $$
Ausgeschrieben ergibt das
$$ \begin{align*} 2x - y &= 0 \\ y - 2z &= 0 \end{align*} $$
Das übrig gebliebene lineare Gleichungssystem ist unterbestimmt (zwei Gleichungen, drei Variablen). Es gibt also unendlich viele Lösungen.
Eine spezielle Lösung erhalten wir, wenn wir für eine der Variablen einen beliebigen Wert einsetzen.
Wir setzen $x = 1$ in die 1. Gleichung ein und erhalten:
$$ 2 \cdot 1 - y = 0 $$
Wir lösen die 1. Gleichung nach $y$ auf und erhalten $y = 2$.
Wir setzen $y = 2$ in die 2. Gleichung ein und erhalten $z = 1$.
Der Eigenvektor ist also
$$ \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}\lambda_2 = 2}$} $$
$$ \begin{pmatrix} (3-{\color{blue}2}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}2}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{array}{rrr|l} 1 & -1 & 0 & \\ 2 & -2 & 0 & \textrm{II} - 2 \cdot \textrm{I} \\ -2 & 2 & -3 & \textrm{III} + 2 \cdot \textrm{I} \\ \hline 1 & -1 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & \textrm{II und III vertauschen} \\ 0 & 0 & -3 & \\ \hline 1 & -1 & 0 & \\ 0 & 0 & -3 & \\ 0 & 0 & 0 & \end{array} $$
Ausgeschrieben ergibt das
$$ \begin{align*} x - y &= 0 \\ -3z &= 0 \end{align*} $$
Das übrig gebliebene lineare Gleichungssystem ist unterbestimmt (zwei Gleichungen, drei Variablen). Es gibt also unendlich viele Lösungen.
Aus der 2. Gleichung folgt, dass stets $z = 0$ gilt.
Eine spezielle Lösung erhalten wir demnach, wenn wir für $x$ oder für $y$ einen beliebigen Wert einsetzen.
Wir setzen $x = 1$ in die 1. Gleichung ein und erhalten:
$$ 1 - y = 0 $$
Wir lösen die 1. Gleichung nach $y$ auf und erhalten $y = 1$.
Der Eigenvektor ist also
$$ \vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}\lambda_3 = -1}$} $$
$$ \begin{pmatrix} (3-({\color{blue}-1})) & -1 & 0 \\ 2 & (0-({\color{blue}-1})) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-({\color{blue}-1})) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{array}{rrr|l} 4 & -1 & 0 & \\ 2 & 1 & 0 & \textrm{II} - 0{,}5 \cdot \textrm{I} \\ -2 & 2 & 0 & \textrm{III} + \textrm{II} \\ \hline 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1{,}5 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{array} $$
Ausgeschrieben ergibt das
$$ \begin{align*} 4x - y &= 0 \\ 1{,}5y &= 0 \\ 3y &= 0 \end{align*} $$
Aus den obigen drei Gleichungen folgt, dass $x = 0$ und $y = 0$ gilt.
Die Variable $z$ hingegen kann einen beliebigen Wert annehmen.
Es gibt wieder unendlich viele Lösungen.
Eine spezielle Lösung erhalten wir, indem wir z. B. $z = 1$ setzen.
Der Eigenvektor ist also
$$ \vec{x}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Zusammenfassung
Die Matrix $A$
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $$
besitzt die Eigenwerte $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$ und $\lambda_3 = -1$.
Zum Eigenwert $\lambda_1 = 1$ gehört der Eigenvektor
$\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und alle seine Vielfachen.
Zum Eigenwert $\lambda_2 = 2$ gehört der Eigenvektor
$\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und alle seine Vielfachen.
Zum Eigenwert $\lambda_3 = -1$ gehört der Eigenvektor
$\vec{x}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und alle seine Vielfachen.
Hat man die Eigenvektoren berechnet, lässt sich ganz einfach der Eigenraum bestimmen.
Additionsverfahren
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} $$
Berechne die Eigenvektoren der Matrix.
Eigenwerte berechnen
Rechenansatz aufstellen
$$ A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x} $$
$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Ausmultiplizieren
$$ \begin{align*} 3 \cdot x + 0 \cdot y = \lambda \cdot x \\ -9 x + 6 \cdot y = \lambda \cdot y \end{align*} $$
Alle Terme auf die linke Seite bringen
$$ \begin{align*} (3 - \lambda) \cdot x + 0 \cdot y = 0 \\ -9 \cdot x + (6 - \lambda) \cdot y = 0 \end{align*} $$
Charakteristisches Polynom berechnen
$$ \begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix} (3 - \lambda) & 0 \\ -9 & (6 - \lambda) \end{vmatrix} \\[5px] &= (3 - \lambda) \cdot (6 - \lambda) - (-9) \cdot 0 \\[5px] &= \lambda^2 - 9\lambda + 18 \end{align*} $$
Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
Mithilfe der Mitternachtsformel berechnen wir die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zu
$$ \lambda_1 = 3 $$
$$ \lambda_2 = 6 $$
Dabei handelt es sich um die beiden Eigenwerte der Matrix $A$.
Eigenvektoren berechnen
Die Eigenwerte $\lambda_1 = 3$ und $\lambda_2 = 6$ setzen wir nacheinander in das Gleichungssystem
$$ \begin{align*} (3 - \lambda) \cdot x + 0 \cdot y = 0 \\ -9 \cdot x + (6 - \lambda) \cdot y = 0 \end{align*} $$
ein, um die Eigenvektoren zu berechnen.
$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}\lambda_1 = 3}$} $$
$$ \begin{align*} (3 - {\color{blue}3}) \cdot x + 0 \cdot y = 0 \\ -9 \cdot x + (6 - {\color{blue}3}) \cdot y = 0 \end{align*} $$
Das können wir vereinfachen zu
$$ \begin{align*} 0 &= 0 \\ -9 \cdot x + 3 \cdot y &= 0 \end{align*} $$
Bei der 1. Gleichung handelt es sich um eine allgemeingültige Gleichung. Wir können sie deshalb weglassen. Übrig bleibt eine Gleichung mit zwei Variablen. Es gibt folglich unendlich viele Lösungen.
Eine spezielle Lösung erhalten wir, wenn wir für $x$ oder $y$ einen beliebigen Wert einsetzen.
Wir setzen $x = 1$ ein und erhalten:
$$ -9 \cdot 1 + 3 \cdot y = 0 $$
Wir lösen die Gleichung nach $y$ auf und erhalten $y = 3$.
Der Eigenvektor ist also
$$ \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$\fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}\lambda_2 = 6}$}$
$$ \begin{align*} (3 - {\color{blue}6}) \cdot x + 0 \cdot y = 0 \\ -9 \cdot x + (6 - {\color{blue}6}) \cdot y = 0 \end{align*} $$
Das können wir vereinfachen zu
$$ \begin{align*} -3 \cdot x = 0 \\ -9 \cdot x = 0 \end{align*} $$
Aus den obigen beiden Gleichungen folgt, dass $x = 0$ gilt.
Die Variable $y$ hingegen kann einen beliebigen Wert annehmen.
Es gibt wieder unendlich viele Lösungen.
Einsetzen von $y = 1$ führt uns zu dem Eigenvektor
$$ \vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Zusammenfassung
Die Matrix $A$
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} $$
besitzt die Eigenwerte $\lambda_1 = 3$ und $\lambda_2 = 6$.
Zum Eigenwert $\lambda_1 = 3$ gehört der Eigenvektor
$\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und alle seine Vielfachen.
Zum Eigenwert $\lambda_2 = 6$ gehört der Eigenvektor
$\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und alle seine Vielfachen.
Hat man die Eigenvektoren berechnet, lässt sich ganz einfach der Eigenraum bestimmen.
Graphische Betrachtung
$$ A \cdot \vec{x}_1 = \lambda_1 \cdot \vec{x}_1 $$
$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} $$
Im Koordinatensystem sind die beiden Vektoren $\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\lambda_1 \cdot \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}$ eingezeichnet.
$$ A \cdot \vec{x}_2 = \lambda_2 \cdot \vec{x}_2 $$
$$ \begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} $$
