Kubische Gleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter kubischen Gleichungen versteht.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
Definition
Gleichungen, die sich durch Äquivalenzumformungen in die Form
$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$
bringen lassen, heißen kubische Gleichungen.
In einer kubischen Gleichung kommt beim $x$ der Exponent $3$, aber kein höherer Exponent vor.
Beispiele
Kubische Gleichungen lösen
Im Schulunterricht lernen wir folgendes Verfahren kennen:
Lösung durch systematisches Raten finden
Teiler des Absolutglieds finden
Teiler des Absolutglieds in kubische Gleichung einsetzen
Kubische Gleichung auf quadratische Gleichung reduzieren
Quadratische Gleichung lösen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 1)
Das systematische Raten einer Lösung führt nur dann zum Erfolg, wenn es eine (leicht findbare) ganzzahlige Lösung gibt. Systematisch heißt in diesem Fall, dass wir unsere Suche auf die Teiler des absoluten Glieds beschränken. Der Zusammenhang zwischen Teiler des absoluten Glieds und Lösung der Gleichung folgt aus dem Satz von Vieta.
zu 2)
Um die kubische Gleichung auf eine quadratische Gleichung zu reduzieren, können wir eines der folgenden Rechenverfahren anwenden:
zu 3)
Um die quadratische Gleichung zu lösen, können wir eines der folgenden Rechenverfahren anwenden:
- Quadratische Ergänzung
- Mitternachtsformel
- pq-Formel
- Satz von Vieta (Nur in Ausnahmefällen sinnvoll!)
Löse die kubische Gleichung
$$ 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 0 $$
Lösung durch systematisches Raten finden
Teiler des Absolutglieds finden
Wenn es eine ganzzahlige Lösung gibt, dann ist diese ein Teiler des Absolutglieds $-4$.
Mögliche Lösungen: $\pm 1$, $\pm 2$.
Teiler des Absolutglieds in kubische Gleichung einsetzen
Wir setzen die möglichen Lösungen nacheinander in die kubische Gleichung ein:
$$ 2\cdot 1^3 + 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0 $$
Das Einsetzen von $x = 1$ führt zu einer wahren Aussage. $x = 1$ ist folglich eine Lösung der kubischen Gleichung.
Da wir eine Lösung gefunden haben, können wir die Überprüfung der Teiler vorzeitig abbrechen.
Kubische Gleichung auf quadratische Gleichung reduzieren
Durch Polynomdivision können wir die kubische Gleichung mithilfe der gefundenen Lösung auf eine quadratische Gleichung reduzieren. Dabei teilen wir den kubischen Term durch $(x-1)$, weil die gefundene Lösung $x = 1$ ist. Wäre die Lösung $x = -3$, müssten wir durch $(x+3)$ teilen.
Ansatz
$$ (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = \; ? $$
Die einzelnen Rechenschritte sind im Kapitel Polynomdivision ausführlich erklärt.
Ergebnis
$$ (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = 2x^2 + 6x + 4 $$
Quadratische Gleichung lösen
Die Lösungen der quadratischen Gleichung
$$ 2x^2 + 6x + 4 = 0 $$
sind $x_2 = -2$ und $x_3 = -1$.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-2; -1; 1\} $$
