Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Gleichungen sind.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist ein Term?

Einführungsbeispiel

Wenn Mama und Papa ihr Körpergewicht vergleichen, können folgende drei Fälle auftreten:

Fall 1

Mama ist schwerer als Papa

Mama $>$ Papa

Abb. 1

Fall 2

Mama und Papa sind gleich schwer

Mama $=$ Papa

Abb. 2

Fall 3

Mama ist leichter als Papa

Mama $<$ Papa

Abb. 3

Auf dieselbe Weise wie wir in unserem Alltag zwei Größen (Massen, Längen…) vergleichen, ist es in der Mathematik möglich, Terme (mathematische Ausdrücke) miteinander zu vergleichen:

Fall 1

Term 1 ist größer als Term 2

$$ x + 1 > 2 $$

Abb. 4

Fall 2

Term 1 ist gleich Term 2

$$ x + 1 = 2 $$

Abb. 5

Fall 3

Term 1 ist kleiner als Term 2

$$ x + 1 < 2 $$

Abb. 6

Die Fälle 1 und 3 beschreiben Ungleichungen. Fall 2 hingegen beschreibt eine Gleichung.

Definition

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch das Gleichheitszeichen verbunden sind.

Der Term vor dem Gleichheitszeichen heißt linke Seite der Gleichung, der Term hinter dem Gleichheitszeichen entsprechend rechte Seite der Gleichung.

Beispiel 1

In $x + 1 = 2$ ist $x + 1$ die linke Seite und $2$ die rechte Seite der Gleichung.

Gleichungen ohne Variablen sind Aussagen, die entweder wahr oder falsch sind.

Beispiel 2

$80 = 80$ ist eine wahre Aussage.

Beispiel 3

$75 = 80$ ist eine falsche Aussage.

Mathematiker finden Gleichungen ohne Variablen ziemlich langweilig. Wenn wir ab sofort von Gleichungen sprechen, sind deshalb immer Gleichungen mit Variablen gemeint. Dabei handelt es sich um sog. Aussageformen (Fachbegriff für Aussagen mit Variablen), die zu Aussagen werden, wenn wir für alle Variablen Zahlen aus der Definitionsmenge einsetzen.

Beispiel 4

$x + 1 = 2$ ist eine Aussageform.

Durch Einsetzen von $x = 1$ erhalten wir $1 + 1 = 2$ , also $2 = 2$ , eine wahre Aussage.

Bildliche Vorstellung
- Waage im Gleichgewicht

Mathematische Sprechweise
- $x = 1$ ist eine Lösung der Gleichung.
- Für $x = 1$ ist die Gleichung erfüllt.

Abb. 7

Durch Einsetzen von $x = 2$ erhalten wir $2 + 1 = 2$ , also $3 = 2$ , eine falsche Aussage.

Bildliche Vorstellung
- Waage im Ungleichgewicht

Mathematische Sprechweise
- $x = 2$ ist keine Lösung der Gleichung.
- Für $x = 2$ ist die Gleichung nicht erfüllt.

Abb. 8

Ausblick

Die Zahlen, die wir für $x$ einsetzen dürfen, stammen aus der sog. Definitionsmenge. Jede Zahl aus der Definitionsmenge, die beim Einsetzen für $x$ zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösung der Gleichung. Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung, endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben. Die Lösungen werden in der Lösungsmenge zusammengefasst. Ziel ist es, die Lösungsmenge zu bestimmen (siehe Gleichungen lösen).