Gleichungen lösen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was es bedeutet, Gleichungen zu lösen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Was ist die Definitionsmenge einer Gleichung?
(„Welche Werte darf ich für$x$einsetzen?“) - Was ist die Lösungsmenge einer Gleichung?
(„Welche$x$aus$\mathbb{D}$führen zu einer wahren Aussage?“)
Definition
Eine Gleichung lösen heißt, alle Zahlen der Definitionsmenge zu bestimmen, die beim Einsetzen für $x$ zu einer wahren Aussage führen.
Kurz: Eine Gleichung lösen heißt, die Lösungsmenge der Gleichung zu bestimmen.
Gleichungen lösen für Anfänger
Wenn du dich das erste Mal mit dem Lösen von Gleichungen beschäftigst, sind die Aufgaben meist so einfach, dass du sie meist schon durch bloßes Nachdenken lösen kannst.
Das 4-fache einer Zahl ist 8.
Wie heißt die gesuchte Zahl?
Das Rückwärtsrechnen funktioniert natürlich auch bei komplizierteren Gleichungen.
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, Gleichungen durch systematisches Probieren zu lösen. Dazu stellen wir eine Tabelle auf und vergleichen für verschiedene Einsetzungen für $x$ die linke mit rechten Seite der Gleichung.
Gleichung: $4(x - 18) = 16$
$x$ | Linke Seite | Rechte Seite | ||
|---|---|---|---|---|
$\,\vdots$ | ||||
$19$ | $4(19-18) = 4 \cdot 1 = 4$ | $=$ | $16$ | falsch |
$20$ | $4(20-18) = 4 \cdot 2 = 8$ | $=$ | $16$ | falsch |
$21$ | $4(21-18) = 4 \cdot 3 = 12$ | $=$ | $16$ | falsch |
$22$ | $4(22-18) = 4 \cdot 4 = 16$ | $=$ | $16$ | wahr |
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{22\}$
Gleichungen lösen für Fortgeschrittene
Irgendwann werden die Gleichungen so kompliziert, dass die obigen Lösungsverfahren an ihre Grenzen stoßen. In diesen Fällen empfiehlt es sich, die Gleichungen zunächst schrittweise zu vereinfachen. Ziel der Umformungen ist es, dass am Ende das $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht und wir somit die Lösungsmenge einfach ablesen können.
Im ersten Schritt betrachten wir die beiden Seiten der Gleichung getrennt voneinander und versuchen die jeweiligen Terme durch Termumformungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern und Zusammenfassen entsprechender Glieder zu vereinfachen. Im zweiten Schritt lösen wir die Gleichung durch Äquivalenzumformungen nach $x$ auf. Idee ist es, die gleiche Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen, damit sich die Lösungsmenge nicht ändert (anschaulich: damit die Waage im Gleichgewicht bleibt). Im dritten und letzten Schritt lesen wir die Lösungsmenge ab und schreiben sie mathematisch korrekt auf.
Gleichung: $4(x+1{,}5) = 9x - 6 - 7x$
$$ \begin{align*} 4(x+1{,}5) &= 9x - 6 - 7x &&{\color{gray}| \text{ Terme vereinfachen}} \\[5px] 4x + 6 &= 2x - 6 &&{\color{gray}|\, -2x} \\[5px] 4x {\color{gray}\,-\,2x} + 6 &= 2x {\color{gray}\,-\,2x} - 6 \\[5px] 2x + 6 &= -6 &&{\color{gray}|\, -6} \\[5px] 2x {\color{gray}\,-\,6} &= -6 {\color{gray}\,-\,6} \\[5px] 2x &= -12 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] \frac{2x}{\color{gray}2} &= \frac{-12}{\color{gray}2} \\[5px] x &= -6 &&{\color{gray}| \text{ Lösungsmenge ablesen}} \end{align*} $$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-6\}$
Für viele Arten von Gleichungen gibt es fertige Lösungsformeln, die uns die mitunter zeitintensiven Umformungen ersparen. Die beiden populärsten Beispiele sind die Mitternachtsformel (abc-Formel) und die pq-Formel für quadratische Gleichungen.
Gleichungen lösen für Profis
Mit den Lösungsverfahren, die wir in der Schule kennenlernen, berechnen wir stets exakte Lösungen. Für viele Gleichungen gibt es aber weder eine Lösungsformel noch die Möglichkeit, die Variable $x$ mithilfe von Äquivalenzumformungen auf der linken Seite zu isolieren. Wenn dieser Fall eintritt, müssen wir uns mit (beliebig genauen) Näherungslösungen zufriedengeben.
Näherungsverfahren werden auch dann eingesetzt, wenn der Aufwand zur Berechnung der exakten Lösung sehr hoch ist. Für viele Anwendungen ist eine Näherungslösung ausreichend.
