Barwert
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Barwert ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Durch Aufzinsung wird unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins der zukünftige Wert eines gegenwärtigen Geldbetrages bestimmt. Das Ergebnis einer Aufzinsung heißt Endwert.
$$ \text{Endwert} = \text{Barwert} \cdot \text{Aufzinsungsfaktor} $$
Durch Abzinsung wird unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins der heutige Wert eines zukünftigen Geldbetrages bestimmt. Das Ergebnis einer Abzinsung heißt Barwert.
$$ \text{Barwert} = \text{Endwert} \cdot \text{Abzinsungsfaktor} $$
Beispiele
Peter möchte in einem Jahr $5250\ \textrm{€}$ (= zukünftiger Wert) auf seinem Sparbuch haben.
Welchen Betrag muss er heute (= Barwert) anlegen, wenn sich sein Guthaben jährlich mit $5\ \%$ verzinst?
Formel aufschreiben
$$ c_0 = c_1 \cdot (1+i)^{-t} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{c_0} = 5250 \cdot (1 + 0{,}05)^{-1} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{c_0} = 5000 $$
Peter muss heute $5000\ \textrm{€}$ anlegen, um in einem Jahr $5250\ \textrm{€}$ auf seinem Sparbuch zu haben.
Anmerkung
Mit der obigen Rechnung haben wir nichts anderes gemacht, als die Zinsen (= $250\ \textrm{€}$) herausgerechnet, die er für $5000\ \textrm{€}$ bei einem Zinssatz von $5\ \%$ (bei einer Laufzeit von einem Jahr) bekommt.
Stefanie möchte in zwei Jahren $10404\ \textrm{€}$ (= zukünftiger Wert) auf ihrem Sparbuch haben.
Welchen Betrag muss sie heute (= Barwert) anlegen, wenn sich ihr Guthaben jährlich mit $2\ \%$ verzinst?
Formel aufschreiben
$$ c_0 = c_2 \cdot (1+i)^{-t} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{c_0} = 10404 \cdot (1 + 0{,}02)^{-2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{c_0} = 10000 $$
Stefanie muss heute $10000\ \textrm{€}$ anlegen, um in zwei Jahren $10404\ \textrm{€}$ auf ihrem Sparbuch zu haben.
Anmerkung
Mit der obigen Rechnung wurde Folgendes aus den $10404\ \textrm{€}$ herausgerechnet, um den Barwert zu erhalten:
- Zinsen im 1. Jahr =
$10000 \cdot 0{,}02 = 200\ \textrm{€}$ - Zinsen im 2. Jahr =
$10200 \cdot 0{,}02 = 204\ \textrm{€}$
