Zinseszinsrechnung
In diesem Kapitel schauen wir uns die Grundlagen der Zinseszinsrechnung an.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
- Was ist eine prozentuale Veränderung?
- Was ist eine prozentuale Zunahme?
- Grundlagen der Zinsrechnung
Einordnung
Die Zinseszinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.
Zinsen spielen hauptsächlich beim Leihen und Verleihen von Geld eine Rolle.
Die beliebteste Form der Geldanlage in Deutschland ist das Sparbuch. Das funktioniert so: Du leihst der Bank dein gespartes Geld. Die Bank zahlt dir dafür am Jahresende Zinsen. Wenn du die Zinsen auf deinem Sparbuch lässt, zahlt die Bank dafür später auch Zinsen.
Die Zinsen auf Zinsen heißen Zinseszinsen.
Du legst $100\ \textrm{€}$ bei einem Zinssatz von $10\ \%$ für $3$ Jahre fest an.
$$ \begin{align*} K_1 &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \\[5px] &= 1000 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 1000 \cdot 1{,}1 \\[5px] &= 1100 \end{align*} $$
Nach einem Jahr hast du $1100\ \textrm{€}$ auf dem Sparbuch.
$$ \begin{align*} K_2 &= K_1 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \\[5px] &= 1100 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 1100 \cdot 1{,}1 \\[5px] &= 1210 \end{align*} $$
Nach zwei Jahren hast du $1210\ \textrm{€}$ auf dem Sparbuch.
$$ \begin{align*} K_3 &= K_2 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \\[5px] &= 1210 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 1210 \cdot 1{,}1 \\[5px] &= 1331 \end{align*} $$
Nach drei Jahren hast du $1331\ \textrm{€}$ auf dem Sparbuch.
Zinsen pro Jahr
Zinsen für das 1. Jahr = $100\ \textrm{€}$
Zinsen für das 2. Jahr = $110\ \textrm{€}$
Zinsen für das 3. Jahr = $121\ \textrm{€}$
Das Beispiel hat gezeigt:
Durch den sog. Zinseszinseffekt
steigen die Zinsen exponentiell.
Zinseszinsformel
Das Kapital $K_n$, das man nach $n$ Jahren hat, lässt sich auch direkt berechnen:
$$ K_1 = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) $$
$$ K_2 = \underbrace{K_1}_{K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 $$
$$ K_3 = \underbrace{K_2}_{K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3 $$
Daraus folgt:
Zinseszinsformel
$$ K_n = K_0 \cdot {\underbrace{\left(1 + \frac{p}{100}\right)}_{q}}^n $$
Die Zinseszinsrechnung ist eine Anwendung der prozentualen Zunahme.
| Begriff in der Zinseszinsrechnung | Begriff in der Prozentrechnung |
|---|---|
Endkapital $K_n$ | Endwert $G_{neu+}$ |
Anfangskapital $K_0$ | Anfangswert $G$ |
Aufzinsungsfaktor $q$ | Wachstumsfaktor $q$ |
$\Rightarrow K_n = K_0 \cdot q^n$ | $\Rightarrow G_{neu+} = G \cdot q^n$ |
Im Kapitel zur Zinseszinsformel schauen wir uns das Thema noch genauer an.
