Prozentuale Veränderung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine prozentuale Veränderung ist.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
Einführungsbeispiele
Papa wog vor dem Urlaub $80\ \textrm{kg}$, hat dann aber $\boldsymbol{5\ \%}$ zugenommen.
Wie viel wiegt Papa jetzt?
$$ 80\ \textrm{kg} + 5\ \% \cdot 80\ \textrm{kg} = 80\ \textrm{kg} + 4\ \textrm{kg} = 84\ \textrm{kg} $$
Mama wog vor dem Urlaub $65\ \textrm{kg}$, hat dann aber $\boldsymbol{8\ \%}$ abgenommen.
Wie viel wiegt Mama jetzt?
$$ 65\ \textrm{kg} - 8\ \% \cdot 65\ \textrm{kg} = 65\ \textrm{kg} - 5{,}2\ \textrm{kg} = 59{,}8\ \textrm{kg} $$
Definition
Eine prozentuale Veränderung ist die Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent.
$$ \text{Anfangswert} \pm \text{Prozentuale Veränderung} = \text{Endwert} $$
Prozentfaktor
Die prozentuale Veränderung wird mathematisch durch den Prozentfaktor ausgedrückt.
$80\ \textrm{kg} + 5\ \% \cdot 80\ \textrm{kg}$ vereinfachen wir durch Ausklammern zu $80\ \textrm{kg} \cdot (100\ \% + 5\ \%)$.
Dabei bezeichnet man $(100\ \% + 5\ \%)$ als Prozentfaktor.
$65\ \textrm{kg} - 8\ \% \cdot 65\ \textrm{kg}$ vereinfachen wir durch Ausklammern zu $65\ \textrm{kg} \cdot (100\ \% - 8\ \%)$.
Dabei bezeichnet man $(100\ \% - 8\ \%)$ als Prozentfaktor.
$$ \text{Anfangswert } G \cdot \text{Prozentfaktor } q = \text{Endwert } G_{neu} $$
Prozentfaktor in Prozentschreibweise: $\,q = \left(100\ \% \pm p\ \%\right)$
Prozentfaktor in Dezimalschreibweise: $q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)$
Bei einer Zunahme ist der Prozentfaktor größer als 1 (Wachstumsfaktor
).
Bei einer Abnahme ist der Prozentfaktor kleiner als 1 (Abnahmefaktor
).
Prozentuale Zunahme
$$ \text{Endwert } G_{neu+} = \text{Anfangswert } G \cdot \underbrace{\left(1 + \frac{p}{100}\right)}_{\text{Wachstumsfaktor}} $$
Tomaten der Marke Tomato Gold
kosten normalerweise $2\ \textrm{€}$ je kg.
Aufgrund einer schlechten Ernte erhöht sich der Preis um $10\ \%$.
Wie viel kosten die Tomaten nach der Preiserhöhung?
$$ \begin{align*} G_{neu+} &= 2 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 2 \cdot \left(1 + 0{,}1\right) \\[5px] &= 2 \cdot {\fcolorbox{green}{}{$1{,}1$}} \qquad {\color{green}\leftarrow \text{Wachstumsfaktor (q > 1)}} \\[5px] &= 2{,}2 \end{align*} $$
Die Tomaten kosten nach der Preiserhöhung $2{,}20\ \textrm{€}$ je kg.
Prozentuale Abnahme
$$ \text{Endwert } G_{neu-} = \text{Anfangswert } G \cdot \underbrace{\left(1 - \frac{p}{100}\right)}_{\text{Abnahmefaktor}} $$
Tomaten der Marke Tomato Gold
kosten normalerweise $2\ \textrm{€}$ je kg.
Aufgrund einer guten Ernte sinkt der Preis um $10\ \%$.
Wie viel kosten die Tomaten nach der Preissenkung?
$$ \begin{align*} G_{neu-} &= 2 \cdot \left(1 - \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 2 \cdot \left(1 - 0{,}1\right) \\[5px] &= 2 \cdot {\fcolorbox{red}{}{$0{,}9$}} \qquad {\color{red}\leftarrow \text{Abnahmefaktor (q < 1)}} \\[5px] &= 1{,}8 \end{align*} $$
Die Tomaten kosten nach der Preissenkung $1{,}80\ \textrm{€}$ je kg.
Besonderheiten prozentualer Veränderungen
a) Prozentuale Zunahme und Abnahme um denselben Prozentsatz
Wenn ein Anfangswert um $p\ \%$ erhöht (gesenkt) und danach um denselben Prozentsatz wieder gesenkt (erhöht) wird, führt dies – entgegen der Intuition – nicht zu dem ursprünglichen Anfangswert.
Der Preis eines $50\ \textrm{€}$ teuren Produktes steigt um $10\ \%$.
$$ \begin{align*} G_{neu+} &= 50 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 50 \cdot \left(1 + 0{,}1\right) \\[5px] &= 50 \cdot {\fcolorbox{green}{}{$1{,}1$}} \qquad {\color{green}\leftarrow \text{10%ige Erhöhung}} \\[5px] &= 55 \end{align*} $$
Das Produkt kostet nach der Erhöhung $55\ \textrm{€}$. Wir reduzieren den Preis um $10\ \%$.
$$ \begin{align*} G_{neu-} &= 55 \cdot \left(1 - \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 55 \cdot \left(1 - 0{,}1\right) \\[5px] &= 55 \cdot {\fcolorbox{red}{}{$0{,}9$}} \qquad {\color{red}\leftarrow \text{10%ige Senkung}} \\[5px] &= 49{,}5 \end{align*} $$
Das Produkt kostet jetzt $49{,}50\ \textrm{€}$ – und nicht etwa wieder $50\ \textrm{€}$, wie man vermuten könnte.
b) Prozentuale Veränderung eines Prozentsatzes
Die Änderung eines Prozentsatzes kann in Prozent oder in Prozentpunkten angegeben werden.
Die Partei XYZ erreichte bei der letzten Wahl $20\ \%$, bei der aktuellen Wahl $30\ \%$ der Wählerstimmen.
Die Formulierung Die Partei XYZ hat 10 % mehr Stimmen
ist falsch!
Ein 10%iger Anstieg würde nur zu einem Prozentsatz von $22\ \%$ führen:
$$ 20 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) = 20 \cdot 1{,}1 = 22 $$
Die absolute Änderung zweier Prozentsätze gibt man in Prozentpunkten an.
Die Partei XYZ erreichte bei der letzten Wahl $20\ \%$, bei der aktuellen Wahl $30\ \%$ der Wählerstimmen.
Gib die Änderung in Prozentpunkten an.
$$ 30 - 20 = 10 $$
Die Partei XYZ hat bei der aktuellen Wahl 10 Prozentpunkte mehr als bei der letzten Wahl.
Die relative Änderung zweier Prozentsätze gibt man in Prozent an.
Die Partei XYZ erreichte bei der letzten Wahl $20\ \%$, bei der aktuellen Wahl $30\ \%$ der Wählerstimmen.
Gib die Änderung in Prozent an.
Grundwert $G$: $20$ (= ursprünglicher Wert)
Prozentwert $W$: $10$ (= absolute Änderung)
$$ p = \frac{W}{G} = \frac{10}{20} = 0{,}5 $$
Die Partei XYZ hat bei der aktuellen Wahl 50 % mehr Stimmen als bei der letzten Wahl.
