Prozentuale Zunahme
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine prozentuale Zunahme ist.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
- Was ist eine prozentuale Veränderung?
Einführungsbeispiel
Papa wog vor dem Urlaub $80\ \textrm{kg}$, hat dann aber $\boldsymbol{5\ \%}$ zugenommen.
Wie viel wiegt Papa jetzt?
$$ 80\ \textrm{kg} + 5\ \% \cdot 80\ \textrm{kg} = 80\ \textrm{kg} + 4\ \textrm{kg} = 84\ \textrm{kg} $$
Definition
Eine prozentuale Zunahme ist die positive Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent:
$$ \text{Anfangswert} + \text{Prozentuale Zunahme} = \text{Endwert} $$
Die prozentuale Zunahme wird mathematisch durch den Wachstumsfaktor ausgedrückt.
$80\ \textrm{kg} + 5\ \% \cdot 80\ \textrm{kg}$ vereinfachen wir durch Ausklammern zu $80\ \textrm{kg} \cdot (100\ \% + 5\ \%)$.
Dabei bezeichnet man $(100\ \% + 5\ \%)$ als Wachstumsfaktor.
$$ \text{Anfangswert } G \cdot \text{Wachstumsfaktor } q = \text{Endwert } G_{neu+} $$
Wachstumsfaktor in Prozentschreibweise: $\,q = \left(100\ \% + p\ \%\right)$
Wachstumsfaktor in Dezimalschreibweise: $q = \left(1 + \frac{p}{100}\right)$
Aufgaben, in denen es um die prozentuale Zunahme geht, lassen sich leicht an Schüsselwörtern wie Zunahme
, Steigerung
, Erhöhung
oder Gewinn
identifizieren.
Sind zwei der drei Größen (Anfangswert, Prozentfaktor, Endwert) bekannt, kann man die dritte berechnen. Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.
Endwert berechnen
$$ G_{neu+} = G \cdot q $$
Ein Smartphone der Marke Birne
kostet $500\ \textrm{€}$.
Aufgrund der großen Nachfrage erhöht der Hersteller den Preis um $25\ \%$.
Wie viel kostet das Smartphone nach der Preiserhöhung?
$$ \begin{align*} G_{neu+} &= 500 \cdot \left(1 + \frac{25}{100}\right) \\[5px] &= 500 \cdot \left(1 + 0{,}25\right) \\[5px] &= 500 \cdot 1{,}25 \\[5px] &= 625 \end{align*} $$
Nach der Preiserhöhung kostet das Smartphone $625\ \textrm{€}$.
Anfangswert berechnen
$$ G = \frac{G_{neu+}}{q} $$
Ein Smartphone kostet nach einer 25%igen Erhöhung $625\ \textrm{€}$.
Wie viel hat das Smartphone vor der Preiserhöhung gekostet?
$$ \begin{align*} G &= \frac{625}{\left(1 + \frac{25}{100}\right)} \\[5px] &= \frac{625}{\left(1 + 0{,}25\right)} \\[5px] &= \frac{625}{1{,}25} \\[5px] &= 500 \end{align*} $$
Vor der Preiserhöhung hat das Smartphone $500\ \textrm{€}$ gekostet.
Prozentfaktor berechnen
$$ q = \frac{G_{neu+}}{G} $$
Der Hersteller eines Smartphones erhöht den Preis von $500\ \textrm{€}$ auf $625\ \textrm{€}$.
Auf wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?
$$ \begin{align*} q &= \frac{625}{500} \\[5px] &= 1{,}25 \end{align*} $$
Der Preis ist auf $125\ \%$ des ursprünglichen Preises gestiegen.
Die Berechnung des Prozentsatzes aus dem Prozentfaktor lernst du im Kapitel Prozentfaktor.
