Prozentfaktor
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Prozentfaktor ist.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
- Was ist eine prozentuale Veränderung?
Einführungsbeispiele
Papa wog vor dem Urlaub $80\ \textrm{kg}$, hat dann aber $\boldsymbol{5\ \%}$ zugenommen.
Wie viel wiegt Papa jetzt?
$$ 80\ \textrm{kg} + 5\ \% \cdot 80\ \textrm{kg} = 80\ \textrm{kg} + 4\ \textrm{kg} = 84\ \textrm{kg} $$
Mama wog vor dem Urlaub $65\ \textrm{kg}$, hat dann aber $\boldsymbol{8\ \%}$ abgenommen.
Wie viel wiegt Mama jetzt?
$$ 65\ \textrm{kg} - 8\ \% \cdot 65\ \textrm{kg} = 65\ \textrm{kg} - 5{,}2\ \textrm{kg} = 59{,}8\ \textrm{kg} $$
Definition
Eine prozentuale Veränderung ist die Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent.
$$ \text{Anfangswert} \pm \text{Prozentuale Veränderung} = \text{Endwert} $$
Die prozentuale Veränderung wird mathematisch durch den Prozentfaktor ausgedrückt.
$80\ \textrm{kg} + 5\ \% \cdot 80\ \textrm{kg}$ vereinfachen wir durch Ausklammern zu $80\ \textrm{kg} \cdot (100\ \% + 5\ \%)$.
Dabei bezeichnet man $(100\ \% + 5\ \%)$ als Prozentfaktor.
$65\ \textrm{kg} - 8\ \% \cdot 65\ \textrm{kg}$ vereinfachen wir durch Ausklammern zu $65\ \textrm{kg} \cdot (100\ \% - 8\ \%)$.
Dabei bezeichnet man $(100\ \% - 8\ \%)$ als Prozentfaktor.
$$ \text{Anfangswert } G \cdot \text{Prozentfaktor } q = \text{Endwert } G_{neu} $$
Prozentfaktor in Prozentschreibweise: $\,q = \left(100\ \% \pm p\ \%\right)$
Prozentfaktor in Dezimalschreibweise: $q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)$
Bei einer Zunahme ist der Prozentfaktor größer als 1 (Wachstumsfaktor
).
Bei einer Abnahme ist der Prozentfaktor kleiner als 1 (Abnahmefaktor
).
Prozentsatz vs. Prozentfaktor
Der Prozentsatz gibt an, um wie viel Prozent sich ein Anfangswert verändert hat.
Eine Preiserhöhung von $50\ \textrm{€}$ auf $60\ \textrm{€}$ entspricht einer Steigerung um $20\ \%$.
$\Rightarrow$ Prozentsatz = $20\ \%$ = $0{,}2$
Der Prozentfaktor gibt an, auf wie viel Prozent sich ein Anfangswert verändert hat.
Eine Preiserhöhung von $50\ \textrm{€}$ auf $60\ \textrm{€}$ entspricht einer Steigerung auf $120\ \%$.
$\Rightarrow$ Prozentfaktor = $120\ \%$ = $1{,}2$
Prozentfaktor berechnen (aus Prozentsatz)
Wenn der Prozentsatz $p\ \%$ gegeben ist, berechnet sich der Prozentfaktor $q$ zu
| Zunahme | Abnahme |
|---|---|
$q = \left(1 + \frac{p}{100}\right)$ | $q = \left(1 - \frac{p}{100}\right)$ |
Erhöhung um
$30\ \%$
$$ p\ \% = 30\ \% \quad \Rightarrow \quad q = \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 1 + 0{,}3 = 1{,}3 $$
Senkung um
$20\ \%$
$$ p\ \% = 20\ \% \, \, \quad \Rightarrow \quad q = \left(1 - \frac{20}{100}\right) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8 $$
Prozentsatz berechnen (aus Prozentfaktor)
Wenn der Prozentfaktor $q$ gegeben ist, berechnet sich der Prozentsatz $p\ \%$ zu
| Prozentfaktor > 1 | Prozentfaktor < 1 |
|---|---|
$p\ \% = q - 1$ | $p\ \% = 1 - q$ |
Erhöhung auf
$160\ \%$
$$ q = 1{,}6 \quad \Rightarrow \quad p\ \% = 1{,}6 - 1 = 0{,}6 = 60\ \% $$
