Prozentuale Abnahme
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine prozentuale Abnahme ist.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
- Was ist eine prozentuale Veränderung?
Einführungsbeispiel
Mama wog vor dem Urlaub $65\ \textrm{kg}$, hat dann aber $\boldsymbol{8\ \%}$ abgenommen.
Wie viel wiegt Mama jetzt?
$$ 65\ \textrm{kg} - 8\ \% \cdot 65\ \textrm{kg} = 65\ \textrm{kg} - 5{,}2\ \textrm{kg} = 59{,}8\ \textrm{kg} $$
Definition
Eine prozentuale Abnahme ist die negative Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent:
$$ \text{Anfangswert} - \text{Prozentuale Abnahme} = \text{Endwert} $$
Die prozentuale Abnahme wird mathematisch durch den Abnahmefaktor ausgedrückt.
$65\ \textrm{kg} - 8\ \% \cdot 65\ \textrm{kg}$ vereinfachen wir durch Ausklammern zu $65\ \textrm{kg} \cdot (100\ \% - 8\ \%)$.
Dabei bezeichnet man $(100\ \% - 8\ \%)$ als Abnahmefaktor.
$$ \text{Anfangswert } G \cdot \text{Abnahmefaktor } q = \text{Endwert } G_{neu-} $$
Abnahmefaktor in Prozentschreibweise: $\,q = \left(100\ \% - p\ \%\right)$
Abnahmefaktor in Dezimalschreibweise: $q = \left(1 - \frac{p}{100}\right)$
Aufgaben, in denen es um die prozentuale Abnahme geht, lassen sich leicht an Schüsselwörtern wie Abnahme
, Verminderung (Reduktion)
, Senkung
oder Verlust
identifizieren.
Sind zwei der drei Größen (Anfangswert, Prozentfaktor, Endwert) bekannt, kann man die dritte berechnen. Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.
Endwert berechnen
$$ G_{neu-} = G \cdot q $$
Ein Smartphone der Marke Birne
kostet $500\ \textrm{€}$.
Aufgrund geringer Nachfrage senkt der Hersteller den Preis um $25\ \%$.
Wie viel kostet das Smartphone nach der Preissenkung?
$$ \begin{align*} G_{neu-} &= 500 \cdot \left(1 - \frac{25}{100}\right) \\[5px] &= 500 \cdot \left(1 - 0{,}25\right) \\[5px] &= 500 \cdot 0{,}75 \\[5px] &= 375 \end{align*} $$
Nach der Preissenkung kostet das Smartphone $375\ \textrm{€}$.
Anfangswert berechnen
$$ G = \frac{G_{neu-}}{q} $$
Ein Smartphone wird um $25\ \%$ auf $375\ \textrm{€}$ reduziert.
Wie viel hat das Smartphone vor der Preissenkung gekostet?
$$ \begin{align*} G &= \frac{375}{\left(1 - \frac{25}{100}\right)} \\[5px] &= \frac{375}{\left(1 - 0{,}25\right)} \\[5px] &= \frac{375}{0{,}75} \\[5px] &= 500 \end{align*} $$
Vor der Preissenkung hat das Smartphone $500\ \textrm{€}$ gekostet.
Prozentfaktor berechnen
$$ q = \frac{G_{neu-}}{G} $$
Der Hersteller eines Smartphones senkt den Preis von $500\ \textrm{€}$ auf $375\ \textrm{€}$.
Auf wie viel Prozent ist der Preis gesunken?
$$ \begin{align*} q &= \frac{375}{500} \\[5px] &= 0{,}75 \end{align*} $$
Der Preis ist auf $75\ \%$ des ursprünglichen Preises gesunken.
Die Berechnung des Prozentsatzes aus dem Prozentfaktor lernst du im Kapitel Prozentfaktor.
