Logarithmusgleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Logarithmusgleichungen sind und wie man sie löst.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Logarithmusgesetze
Definition
Eine Logarithmusgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable im Numerus des Logarithmus steht.
Logarithmusgleichungen lösen
Im Folgenden schauen wir uns drei Verfahren zum Lösen von Logarithmusgleichungen an. Welches Verfahren man einsetzt, richtet sich danach, wie die Gleichung aussieht.
Lösung mithilfe der Definition des Logarithmus
$$ \log_{b}x = c \quad \Rightarrow \quad x = b^c $$
Eine Lösung mithilfe der Definition des Logarithmus ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich auf der einen Seite ein Logarithmus und auf der anderen Seite eine Konstante ergeben.
$$ \begin{align*} \log_{2}x &= 3 &&{\color{orange}| \text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] x &= 2^3 &&{\color{gray}| \text{ Potenz ausrechnen}} \\[5px] x &= 8 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{8\} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} 2 \cdot \log_{4}x &= 2 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] \log_{4}x &= 1 &&{\color{orange}| \text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] x &= 4^1 &&{\color{gray}| \text{ Potenz ausrechnen}} \\[5px] x &= 4 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{4\} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \log_{3}9 + \log_{3}x &= 4 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmen zusammenfassen}} \\[5px] \log_{3}9x &= 4 &&{\color{orange}| \text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] 9x &= 3^4 &&{\color{gray}| \text{ Potenz ausrechnen}} \\[5px] 9x &= 81 &&{\color{gray}|\, :9} \\[5px] x &= 9 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{9\} \end{align*} $$
Lösung durch Numerivergleich
$$ \log_{b}r = \log_{b}s \quad \Rightarrow \quad r = s $$
Eine Lösung mittels Numerivergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Logarithmen mit gleichen Basen ergeben.
$$ \begin{align*} \log_{5}x &= \log_{5}2 &&{\color{orange}| \text{ Numerivergleich}} \\[5px] x &= 2 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{2\} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} -\log_{7}x &= \log_{7}16 &&{\color{gray}| \text{ Faktor beseitigen}} \\[5px] \log_{7}x^{-1} &= \log_{7}16 &&{\color{orange}| \text{ Numerivergleich}} \\[5px] x^{-1} &= 16 &&{\color{gray}| \phantom{x}^{-1}} \\[5px] \left(x^{-1}\right)^{-1} &= 16^{-1} \\[5px] x &= \frac{1}{16} && \Rightarrow \mathbb{L} = \left\{\frac{1}{16}\right\} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \log_{3}2 + \log_{3}x &= \log_{3}8 - \log_{3}4 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmen zusammenfassen}} \\[5px] \log_{3}(2 \cdot x) &= \log_{3}\left(\frac{8}{4}\right) &&{\color{gray}| \text{ Klammern berechnen}} \\[5px] \log_{3}2x &= \log_{3}2 &&{\color{orange}| \text{ Numerivergleich}} \\[5px] 2x &= 2 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x &= 1 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{1\} \end{align*} $$
Lösung durch Substitution
Einige Logarithmusgleichungen lassen sich nur durch Substitution lösen.
Unter Substitution
versteht man die Einsetzung einer Ersatzvariable.
Substitution
Gleichung lösen
Rücksubstitution
$$ \log_{8}^2 x - 4 \cdot \log_{8} x - 5 = 0 $$
Hinweis: $\log^2 x = \left(\log x \right)^2 = \log x \cdot \log x$
Substitution
$$ \left(\log_{8} x\right)^2 - 4 \cdot \log_{8} x - 5 = 0 $$
$$ {\fcolorbox{red}{}{$\log_{8} x = u$}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Substitution}} $$
$$ u^2 - 4u - 5 = 0 $$
Gleichung lösen
Die Lösungen der quadratischen Gleichung berechnen wir mithilfe der Mitternachtsformel:
$$ \begin{align*} u_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \\[5px] &= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \\[5px] &= \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \\[5px] &= \frac{4 \pm 6}{2} \\[5px] \end{align*} $$
Die Lösungen $u_1$ und $u_2$ sind demnach:
$$ u_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$
$$ u_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$
Rücksubstitution
$$ {\fcolorbox{red}{}{$u = \log_{8} x$}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Rücksubstitution}} $$
Das Einsetzen von $u_1 = -1$ in $u = \log_{8} x$ führt zu
$$ \begin{align*} \log_{8} x &= -1 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] x &= 8^{-1} && \Rightarrow \mathbb{L}_1 = \{8^{-1}\} \end{align*} $$
Das Einsetzen von $u_2 = 5$ in $u = \log_{8} x$ führt zu
$$ \begin{align*} \log_{8} x &= 5 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] x &= 8^{5} && \Rightarrow \mathbb{L}_2 = \{8^{5}\} \end{align*} $$
Die Lösungsmenge der Logarithmusgleichung ist demnach
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \{8^{-1};8^{5}\} $$
Definitionsmenge einer Logarithmusgleichung
Da $\log_{b}x = a$ nur für $x > 0$ definiert ist, kann die Definitionsmenge eingeschränkt sein.
In der Praxis bedeutet das, dass wir stets die Probe machen sollten, d. h. überprüfen, ob die berechneten Lösungen eingesetzt in die gegebene Gleichung zu einer wahren Aussage führen.
$$ \begin{align*} 2 \cdot \log_{7}x &= \log_{7}16 &&{\color{gray}|\text{ Faktor beseitigen}} \\[5px] \log_{7}x^2 &= \log_{7}16 &&{\color{orange}|\text{ Numerivergleich}} \\[5px] x^2 &= 16 &&{\color{gray}|\text{ Wurzel ziehen}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{16} &&{\color{gray}|\text{ Wurzel berechnen}} \\[5px] x &= \pm 4 \\[5px] \end{align*} $$
Als Lösungen erhalten wir $x_1 = -4$ und $x_2 = +4$.
Da $\log_{b}x = a$ nur für $x > 0$ definiert ist, ist $x_1 = -4$ nur eine Scheinlösung.
Die einzige Lösung der Logarithmusgleichung ist $x_2 = 4$:
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{4\} $$
