Satz von Vieta
In diesem Kapitel lernen wir den Satz von Vieta kennen. Obwohl der Satz für alle algebraischen Gleichungen gilt, beschränken wir uns der Einfachheit halber im Folgenden auf quadratische Gleichungen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine quadratische Gleichung?
Satz
Gegeben sei eine quadratische Gleichung in Normalform $x^2 + px + q = 0$.
Zwischen den Koeffizienten $p$ und $q$ und den Lösungen $x_1$ und $x_2$ gilt der Zusammenhang:
Satz von Vieta
$$ x_1 + x_2 = -p $$
Die Summe der Lösungen entspricht dem negativen Koeffizienten von $x$.
$$ x_1 \cdot x_2 = q $$
Das Produkt der Lösungen entspricht dem Absolutglied.
Für den Satz von Vieta gibt es viele interessante Anwendungsmöglichkeiten.
Anwendungen
Lösungen überprüfen (Probe machen
)
Ob eine gefundene Lösung richtig ist, können wir durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung überprüfen. Wenn wir eine wahre Aussage erhalten, ist die Lösung richtig, ansonsten falsch.
Überprüfe, ob $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$ die Lösungen der Gleichung $x^2 - 4x + 3 = 0$ sind.
Einsetzen von $x = 1$ ergibt
$$ \begin{align*} 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 &= 0 \\[5px] 1 - 4 + 3 &= 0 \\[5px] 0 &= 0 &&\text{Wahre Aussage!} \\[5px] \end{align*} $$
Einsetzen von $x = 3$ ergibt
$$ \begin{align*} 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 &= 0 \\[5px] 9 - 12 + 3 &= 0 \\[5px] 0 &= 0 &&\text{Wahre Aussage!} \\[5px] \end{align*} $$
Deutlich einfacher ist allerdings die Probe mithilfe des Satzes von Vieta.
Überprüfe, ob $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$ die Lösungen der Gleichung $x^2 - 4x + 3 = 0$ sind.
$$ x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4 = -p \quad {\color{gray}\Rightarrow p = -4} \qquad \text{Wahre Aussage!} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3 = q \qquad \text{Wahre Aussage!} $$
Bei quadratischen Gleichungen mit nur einer einzigen Lösungen setzen wir $x_1 = x_2$.
Überprüfe, ob $x = 2$ die einzige Lösung der Gleichung $x^2 - 4x + 4 = 0$ ist.
Wir setzen $x_1 = x_2 = 2$.
$$ x_1 + x_2 = 2 + 2 = 4 = -p \quad {\color{gray}\Rightarrow p = -4} \qquad \text{Wahre Aussage!} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 2 = 4 = q \qquad \text{Wahre Aussage!} $$
Quadratische Gleichung bestimmen
Wenn $x_1$ und $x_2$ gegeben sind, können wir $p$ und $q$ berechnen.
Bestimme die quadratische Gleichung, deren Lösungen $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$ sind.
$$ x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4 = -p \quad {\color{gray}\Rightarrow p = -4} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3 = q $$
Einsetzen von $p = -4$ und $q = 3$ in $x^2 + px + q = 0$ ergibt $x^2 - 4x + 3 = 0$.
Bei quadratischen Gleichungen mit nur einer einzigen Lösungen setzen wir $x_1 = x_2$.
Bestimme die quadratische Gleichung, deren einzige Lösung $x = 2$ ist.
Wir setzen $x_1 = x_2 = 2$.
$$ x_1 + x_2 = 2 + 2 = 4 = -p \quad {\color{gray}\Rightarrow p = -4} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 2= 4 = q $$
Einsetzen von $p = -4$ und $q = 4$ in $x^2 + px + q = 0$ ergibt $x^2 - 4x + 4 = 0$.
Zweite Lösung berechnen
Wenn eine Lösung bekannt ist, können wir die andere mithilfe des Satzes von Vieta berechnen.
Bestimme die zweite Lösung der Gleichung $x^2 - 4x + 3 = 0$. Gegeben: $x_1 = 1$.
Ansatz 1
$$ x_1 + x_2 = -p \quad \Rightarrow \quad x_2 = -p - x_1 $$
Einsetzen von $p = -4$ und $x_1 = 1$ ergibt $x_2 = -(-4) - 1 = 4 - 1 = 3$.
Ansatz 2
$$ x_1 \cdot x_2 = q \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{q}{x_1} $$
Einsetzen von $q = 3$ und $x_1 = 1$ ergibt $x_2 = \frac{3}{1} = 3$.
Bei quadratischen Gleichungen mit nur einer einzigen Lösungen stimmen $x_1$ und $x_2$ überein.
Bestimme, falls möglich, die zweite Lösung von $x^2 - 4x + 4 = 0$. Gegeben: $x_1 = 2$.
Ansatz 1
$$ x_1 + x_2 = -p \quad \Rightarrow \quad x_2 = -p - x_1 $$
Einsetzen von $p = -4$ und $x_1 = 2$ ergibt $x_2 = -(-4) - 2 = 4 - 2 = 2$.
Ansatz 2
$$ x_1 \cdot x_2 = q \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{q}{x_1} $$
Einsetzen von $q = 4$ und $x_1 = 2$ ergibt $x_2 = \frac{4}{2} = 2$.
Anmerkung
Wegen $x_1 = x_2 = 2$ hat die quadratische Gleichung nur eine einzige Lösung.
Ganzzahlige Lösungen ermitteln
Wenn $x_1$ und $x_2$ ganzzahlig sind, sind sie wegen $x_1 \cdot x_2 = q$ Teiler von $q$.
Quadratische Gleichung in Normalform umformen
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ erfüllen
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ und $\boldsymbol{x_1 + x_2 = -p}$ erfüllen
Lösungsmenge aufschreiben
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$
mithilfe des Satzes von Vieta.
Quadratische Gleichung in Normalform umformen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen
$$ q = -4 $$
Mögliche Lösungen
$\pm 1$, $\pm 2$ und $\pm 4$.
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ erfüllen
Mögliche Lösungen 1
$x_1 = 1$ und $x_2 = -4$ wegen $1 \cdot (-4) = -4$.
Mögliche Lösungen 2
$x_1 = -1$ und $x_2 = 4$ wegen $(-1) \cdot 4 = -4$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ und $\boldsymbol{x_1 + x_2 = -p}$ erfüllen
$$ p = -3 \quad \Rightarrow \quad -p = 3 $$
Mögliche Lösungen 1
$$ 1 + (-4) = -3 \quad \neq -p $$
Mögliche Lösungen 2
$$ -1 + 4 = 3 \quad = -p $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-1; 4\} $$
Auf den ersten Blick sieht das obige Verfahren vielleicht etwas kompliziert aus. Sobald du es aber verstanden hast, kannst du damit einfache quadratische Gleichungen im Kopf (!) lösen.
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$
mithilfe des Satzes von Vieta.
Quadratische Gleichung in Normalform umformen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen
Teiler von $q = 3$
$\pm 1$, $\pm 3$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ erfüllen
$$ x_ 1 \cdot x_2 = q = 3 $$
$$ 1 \cdot 3 = 3 $$
$$ (-1) \cdot (-3) = 3 $$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ und $\boldsymbol{x_1 + x_2 = -p}$ erfüllen
$$ x_1 + x_2 = -p = -(-4) = 4 $$
$$ 1 + 3 = 4 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{1; 3\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 2x - 8 = 0 $$
mithilfe des Satzes von Vieta.
Quadratische Gleichung in Normalform umformen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen
Teiler von $q = -8$
$\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm 8$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ erfüllen
$$ x_ 1 \cdot x_2 = q = -8 $$
$$ (-1) \cdot 8 = -8 $$
$$ 1 \cdot (-8) = -8 $$
$$ (-2) \cdot 4 = -8 $$
$$ 2 \cdot (-4) = -8 $$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ und $\boldsymbol{x_1 + x_2 = -p}$ erfüllen
$$ x_1 + x_2 = -p = -(-2) = 2 $$
$$ -2 + 4 = 2 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-2; 4\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$
mithilfe des Satzes von Vieta.
Quadratische Gleichung in Normalform umformen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen
Teiler von $q = 4$
$\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ erfüllen
$$ x_ 1 \cdot x_2 = q = 4 $$
$$ 1 \cdot 4 = 4 $$
$$ (-1) \cdot (-4) = 4 $$
$$ 2 \cdot 2 = 4 $$
$$ (-2) \cdot (-2) = 4 $$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ und $\boldsymbol{x_1 + x_2 = -p}$ erfüllen
$$ x_1 + x_2 = -p = -(-4) = 4 $$
$$ 2 + 2 = 4 $$
$\Rightarrow x_1 = x_2$, d. h. es gibt nur eine einzige Lösung.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{2\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 + 2x - 5 = 0 $$
mithilfe des Satzes von Vieta.
Quadratische Gleichung in Normalform umformen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen
Teiler von $q = -5$
$\pm 1$, $\pm 5$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ erfüllen
$$ x_ 1 \cdot x_2 = q = -5 $$
$$ (-1) \cdot 5 = -5 $$
$$ 1 \cdot (-5) = -5 $$
Teiler von $\boldsymbol{q}$ bestimmen, die $\boldsymbol{x_1 \cdot x_2 = q}$ und $\boldsymbol{x_1 + x_2 = -p}$ erfüllen
$$ x_1 + x_2 = -p = -2 $$
$$ -1 + 5 = 4 \quad \neq -2 $$
$$ 1 - 5 = -4 \quad \neq -2 $$
$\Rightarrow$ Es gibt keine ganzzahlige (!) Lösung!
Lösungsmenge aufschreiben
Nur weil es keine ganzzahlige Lösung gibt, heißt das nicht, dass es gar keine Lösung gibt.
Ob es (nicht ganzzahlige) Lösungen gibt, können wir zum Beispiel mithilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel überprüfen.
Das führt uns in diesem Fall zu folgender Lösungsmenge:
$$ \mathbb{L} = \{-1 -\sqrt{6}; -1 +\sqrt{6}\} $$
Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, führt der Satz von Vieta nicht immer zur Lösungsmenge. Wenn nicht anders verlangt, lösen wir quadratische Gleichungen deshalb stets mithilfe einer der bekannten Lösungsformeln.
Beweis
Der Satz von Vieta lässt sich z. B. mithilfe der pq-Formel oder der Produktform beweisen.
pq-Formel
Laut pq-Formel berechnen sich die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform zu
$$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$
$$ x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$
Daraus folgt:
$$ \begin{align*} x_1 + x_2 &= -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\dfrac{p}{2} -\dfrac{p}{2} \\[5px] &= -p \end{align*} $$
und
$$ \begin{align*} x_1 \cdot x_2 &= \left(-\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right) \cdot \left(-\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right) \\[5px] &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p}{2} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} - \frac{p}{2} \cdot \left(-\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right) - \left(\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right)^2 \\[5px] &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p}{2} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} + \frac{p}{2} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} - \left(\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right)^2 \\[5px] &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\right)^2 \\[5px] &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\right) \\[5px] &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 + q \\[5px] &= q \end{align*} $$
Produktform
$$ \begin{align*} x^2 + px + q &= (x - x_1) \cdot (x - x_2) \\[5px] &= x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \\[5px] &= x^2 + (- x_1 - x_2) x + x_1 x_2 \\[5px] &= x^2 \underbrace{-(x_1 + x_2)}_{p}x + \underbrace{x_1 \cdot x_2}_{q} \end{align*} $$
