Diskriminante
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Diskriminante versteht.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine quadratische Gleichung?
Definition
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist ein Rechenausdruck, der eine Aussage über die Anzahl der Lösungen ermöglicht.
Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel in den Lösungsformeln:
| Allgemeine Form | Normalform | |
|---|---|---|
| Quadratische Gleichung | $ax^2 + bx + c = 0$ | $x^2 + px + q = 0$ |
| Lösungsformel | $x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{$b^2 - 4ac$}}}}{2a}$Mitternachtsformel | $x_{1, 2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{$\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$}}}$pq-Formel |
| Diskriminante | $D = b^2 - 4ac$ | $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ |
Anzahl der Lösungen
$D < 0$: Keine (reelle) Lösung*$D = 0$: Eine Lösung$D > 0$: Zwei Lösungen
* Wenn wir die Definitionsmenge auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat eine quadratische Gleichung mit $D < 0$ zwei komplexe Lösungen.
Ab sofort werden wir vor dem Einsetzen in die Lösungsformeln mithilfe der Diskriminante prüfen, ob es Lösungen gibt. Wenn es keine Lösungen gibt, sparen wir uns das Einsetzen.
Diskriminante der Mitternachtsformel
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
Diskriminante berechnen
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{D}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
Lösungen berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
Berechne die Diskriminante der quadratischen Gleichung
$$ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $$
und berechne dann ggf. die Lösung(en). Nutze dazu die Mitternachtsformel.
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
$a = 2$, $b = -8$ und $c = 6$
Diskriminante berechnen
$$ \begin{align*} D &= b^2 - 4ac \\[5px] &= (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 \\[5px] &= 64 - 48 \\[5px] &= 16 \end{align*} $$
$$ {\colorbox{yellow}{$D > 0 \quad \Rightarrow \quad$ Es gibt zwei Lösungen!}} $$
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{D}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= \frac{8 \pm 4}{4} \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_{1} = \dfrac{8 - 4}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 $$
$$ x_{2} = \dfrac{8 + 4}{4} = \dfrac{12}{4} = 3 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{1; 3\} $$
Berechne die Diskriminante der quadratischen Gleichung
$$ 2x^2 - 8x + 8 = 0 $$
und berechne dann ggf. die Lösung(en). Nutze dazu die Mitternachtsformel.
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
$a = 2$, $b = -8$ und $c = 8$
Diskriminante berechnen
$$ \begin{align*} D &= b^2 - 4ac \\[5px] &= (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 \\[5px] &= 64 - 64 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
$$ {\colorbox{yellow}{$D = 0 \quad \Rightarrow \quad$ Es gibt eine Lösung!}} $$
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{D}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= \frac{8 \pm 0}{4} \\[5px] &= \frac{8}{4} \\[5px] &= 2 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{2\} $$
Berechne die Diskriminante der quadratischen Gleichung
$$ 2x^2 - 8x + 11 = 0 $$
und berechne dann ggf. die Lösung(en). Nutze dazu die Mitternachtsformel.
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
$a = 2$, $b = -8$ und $c = 11$
Diskriminante berechnen
$$ \begin{align*} D &= b^2 - 4ac \\[5px] &= (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 \\[5px] &= 64 - 88 \\[5px] &= -24 \end{align*} $$
$$ {\colorbox{yellow}{$D < 0 \quad \Rightarrow \quad$ Es gibt keine Lösung!}} $$
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{D}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungen berechnen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{\,\} $$
Diskriminante der pq-Formel
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
Diskriminante berechnen
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{D}$ in die pq-Formel einsetzen
Lösungen berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
Berechne die Diskriminante der quadratischen Gleichung
$$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$
und berechne dann ggf. die Lösung(en). Nutze dazu die pq-Formel.
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$p = -4$ und $q = 3$
Diskriminante berechnen
$$ \begin{align*} D &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\[5px] &= \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 3 \\[5px] &= \left(-2\right)^2 - 3 \\[5px] &= 4 - 3 \\[5px] &= 1 \end{align*} $$
$$ {\colorbox{yellow}{$D > 0 \quad \Rightarrow \quad$ Es gibt zwei Lösungen!}} $$
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{D}$ in die pq-Formel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{1} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= 2 \pm 1 \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = 2 - 1 = 1 $$
$$ x_2 = 2 + 1 = 3 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{1; 3\} $$
Berechne die Diskriminante der quadratischen Gleichung
$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$
und berechne dann ggf. die Lösung(en). Nutze dazu die pq-Formel.
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$p = -4$ und $q = 4$
Diskriminante berechnen
$$ \begin{align*} D &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\[5px] &= \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 4 \\[5px] &= \left(-2\right)^2 - 4 \\[5px] &= 4 - 4 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
$$ {\colorbox{yellow}{$D = 0 \quad \Rightarrow \quad$ Es gibt eine Lösung!}} $$
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{D}$ in die pq-Formel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{0} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= 2 \pm 0 \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = 2 - 0 = 2 $$
$$ x_2 = 2 + 0 = 2 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{2\} $$
Berechne die Diskriminante der quadratischen Gleichung
$$ x^2 - 4x + 7= 0 $$
und berechne dann ggf. die Lösung(en). Nutze dazu die pq-Formel.
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$p -4$ und $q = 7$
Diskriminante berechnen
$$ \begin{align*} D &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\[5px] &= \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 7 \\[5px] &= \left(-2\right)^2 - 7 \\[5px] &= 4 - 7 \\[5px] &= -3 \end{align*} $$
$$ {\colorbox{yellow}{$D < 0 \quad \Rightarrow \quad$ Es gibt keine Lösung!}} $$
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{D}$ in die pq-Formel einsetzen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungen berechnen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{\,\} $$
