Biquadratische Gleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was biquadratische Gleichungen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine quadratische Gleichung?
Einordnung
Neben Gleichungen 2. Grades (Quadratische Gleichungen)
$$ ax^{\color{red}2} + bx + c = 0 $$
gibt es auch Gleichungen 3. Grades (Kubische Gleichungen)
$$ ax^{\color{red}3} + bx^2 + cx + d = 0 $$
und Gleichungen 4. Grades
$$ ax^{\color{red}4} + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $$
usw.
Eine biquadratische Gleichungen ist ein Spezialfall einer Gleichung 4. Grades.
Definition
Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung 4. Grades, die keine ungeraden Exponenten enthält:
$$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$
Wortherkunft
Die Vorsilbe bi-
kommt aus dem Lateinischen und drückt aus, dass etwas doppelt vorkommt. Das heißt, biquadratisch
bedeutet frei übersetzt so viel wie doppelt quadratisch
. Dass das eine sehr sinnvolle Bezeichnung für diese Art von Gleichung ist, können wir so verdeutlichen:
$$ \underset{\color{gray}\text{Quadratische Gleichung}}{ax^2 + bx + c = 0\vphantom{\left(x^2\right)}} \quad \Rightarrow \quad \underset{\color{gray}\text{Biquadratische Gleichung}}{a\left(x^2\right){\color{red}^2} + b(x){\color{red}^2} + c = 0} $$
Wir erkennen, dass in einer biquadratischen Gleichung im Vergleich zu einer quadratischen Gleichung die Variable doppelt
vorkommt.
Zur Erinnerung: Gemäß einem Potenzgesetz gilt $\left(x^2\right)^2 = x^4$.
Biquadratische Gleichungen lösen
Durch Ersetzen (Substitution) der Variable $x^2$ durch $z$ können wir die biquadratische Gleichung zu einer quadratischen Gleichung vereinfachen. Nachdem wir die Lösungen dieser quadratischen Gleichung berechnet haben, müssen wir aber wieder $z$ durch $x^2$ ersetzen (Resubstitution), um die Lösungen der biquadratischen Gleichung berechnen zu können.
Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Substitution: $\boldsymbol{x^2 = z}$
Quadratische Gleichung mit der Variable $\boldsymbol{z}$ lösen
Resubstitution: $\boldsymbol{z = x^2}$
Wurzel ziehen
Lösungsmenge aufschreiben
Löse die biquadratische Gleichung
$$ 2x^4 - 3x^2 + 1 = 0 $$
Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.
Substitution: $\boldsymbol{x^2 = z}$
$$ \begin{align*} 2x^4 - 3x^2 + 1 &= 0 \\[5px] 2(x^2)^2 - 3x^2 + 1 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ Substitution: } x^2 = z} \\[5px] 2z^2 - 3z + 1 &= 0 \end{align*} $$
Quadratische Gleichung mit der Variable $\boldsymbol{z}$ lösen
$$ \begin{align*} z_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}|\, a = 2, b = -3, c = 1 \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \\[5px] &= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} \\[5px] &= \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} \\[5px] &= \frac{3 \pm 1}{4} \\[5px] \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ \begin{align*} z_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} z_2 = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \end{align*} $$
Resubstitution: $\boldsymbol{z = x^2}$
Fall 1
$$ \begin{align*} z_1 &= 0{,}5 &&{\color{gray}| \text{ Resubstitution: } z_1 = x^2} \\[5px] x^2 &= 0{,}5 \end{align*} $$
Fall 2
$$ \begin{align*} z_2 &= 1 &&{\color{gray}| \text{ Resubstitution: } z_2 = x^2} \\[5px] x^2 &= 1 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
Fall 1
$$ \begin{align*} x^2 &= 0{,}5 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{0{,}5} \\[5px] x &= \pm \sqrt{0{,}5} \end{align*} $$
Fallunterscheidung 1
$$ x_1 = -\sqrt{0{,}5} $$
$$ x_2 = \sqrt{0{,}5} $$
Fall 2
$$ \begin{align*} x^2 &= 1 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{1} \\[5px] x &= \pm 1 \end{align*} $$
Fallunterscheidung 2
$$ x_3 = -1 $$
$$ x_4 = 1 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-1;-\sqrt{0{,}5};\sqrt{0{,}5};1\} $$
Löse die biquadratische Gleichung
$$ x^4 - 8x^2 - 9 = 0 $$
Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.
Substitution: $\boldsymbol{x^2 = z}$
$$ \begin{align*} x^4 - 8x^2 - 9 &= 0 \\[5px] (x^2)^2 - 8x^2 - 9 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ Substitution: } x^2 = z} \\[5px] z^2 - 8z - 9 &= 0 \end{align*} $$
Quadratische Gleichung mit der Variable $\boldsymbol{z}$ lösen
$$ \begin{align*} z_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}|\, a = 1, b = -8, c = -9 \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} \\[5px] &= \frac{8 \pm 10}{2} \\[5px] \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ \begin{align*} z_1 = \frac{8-10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} z_2 = \frac{8+10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \end{align*} $$
Resubstitution: $\boldsymbol{z = x^2}$
Fall 1
$$ \begin{align*} z_1 &= -1 &&{\color{gray}|\text{ Resubstitution: } z_1 = x^2} \\[5px] x^2 &= -1 \end{align*} $$
Fall 2
$$ \begin{align*} z_2 &= 9 &&{\color{gray}|\text{ Resubstitution: } z_2 = x^2} \\[5px] x^2 &= 9 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
Fall 1
$$ \begin{align*} x^2 &= -1 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{-1} \end{align*} $$
$\Rightarrow$ In der Menge der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert.
Fall 2
$$ \begin{align*} x^2 &= 9 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{9} \\[5px] x &= \pm 3 \end{align*} $$
Fallunterscheidung 2
$$ x_3 = -3 $$
$$ x_4 = 3 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-3;3\} $$
Löse die biquadratische Gleichung
$$ x^4 - 8x^2 + 16 = 0 $$
Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.
Substitution: $\boldsymbol{x^2 = z}$
$$ \begin{align*} x^4 - 8x^2 + 16 &= 0 \\[5px] (x^2)^2 - 8x^2 + 16 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ Substitution: } x^2 = z} \\[5px] z^2 - 8z + 16 &= 0 \end{align*} $$
Quadratische Gleichung mit der Variable $\boldsymbol{z}$ lösen
$$ \begin{align*} z_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}|\, a = 1, b = -8, c = 16 \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{64 + 64}}{2} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{0}}{2} \\[5px] &= \frac{8 \pm 0}{2} \\[5px] &= \frac{8}{2} \\[5px] &= 4 \end{align*} $$
Resubstitution: $\boldsymbol{z = x^2}$
$$ \begin{align*} z &= 4 &&{\color{gray}|\text{ Resubstitution: } z = x^2} \\[5px] x^2 &= 4 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} x^2 &= 4 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{4} \\[5px] x &= \pm 2 \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = -2 $$
$$ x_2 = 2 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-2;2\} $$
