Biquadratische Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was biquadratische Gleichungen sind.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine quadratische Gleichung?

Einordnung

Neben Gleichungen 2. Grades (Quadratische Gleichungen)

gibt es auch Gleichungen 3. Grades (Kubische Gleichungen)

und Gleichungen 4. Grades

usw.

Eine biquadratische Gleichungen ist ein Spezialfall einer Gleichung 4. Grades.

Definition

Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung 4. Grades, die keine ungeraden Exponenten enthält:

Wortherkunft

Die Vorsilbe bi- kommt aus dem Lateinischen und drückt aus, dass etwas doppelt vorkommt. Das heißt, biquadratisch bedeutet frei übersetzt so viel wie doppelt quadratisch. Dass das eine sehr sinnvolle Bezeichnung für diese Art von Gleichung ist, können wir so verdeutlichen:

Wir erkennen, dass in einer biquadratischen Gleichung im Vergleich zu einer quadratischen Gleichung die Variable doppelt vorkommt.

Zur Erinnerung: Gemäß einem Potenzgesetz gilt .

Biquadratische Gleichungen lösen

Durch Ersetzen (Substitution) der Variable durch können wir die biquadratische Gleichung zu einer quadratischen Gleichung vereinfachen. Nachdem wir die Lösungen dieser quadratischen Gleichung berechnet haben, müssen wir aber wieder durch ersetzen (Resubstitution), um die Lösungen der biquadratischen Gleichung berechnen zu können.

Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

Substitution:

Quadratische Gleichung mit der Variable lösen

Resubstitution:

Wurzel ziehen

Lösungsmenge aufschreiben

Beispiel 1

Löse die biquadratische Gleichung

Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

Substitution:

Quadratische Gleichung mit der Variable lösen

Fallunterscheidung

Resubstitution:

Fall 1

Fall 2

Wurzel ziehen

Fall 1

Fallunterscheidung 1

Fall 2

Fallunterscheidung 2

Lösungsmenge aufschreiben

Beispiel 2

Löse die biquadratische Gleichung

Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

Substitution:

Quadratische Gleichung mit der Variable lösen

Fallunterscheidung

Resubstitution:

Fall 1

Fall 2

Wurzel ziehen

Fall 1

In der Menge der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert.

Fall 2

Fallunterscheidung 2

Lösungsmenge aufschreiben

Beispiel 3

Löse die biquadratische Gleichung

Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die biquadratische Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.

Substitution:

Quadratische Gleichung mit der Variable lösen

Resubstitution:

Wurzel ziehen

Fallunterscheidung

Lösungsmenge aufschreiben

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