Matrizenmultiplikation
In diesem Kapitel lernen wir, wie man Matrizen multipliziert.
Erforderliches Vorwissen
Voraussetzung
Zwei Matrizen lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.
Ist eine Multiplikation der Matrizen
$$ A_{(2,{\color{green}3})} \cdot B_{({\color{green}3},2)} = \begin{pmatrix} {\color{green}a_{11}} & {\color{green}a_{12}} & {\color{green}a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{green}b_{11}} & b_{12} \\ {\color{green}b_{21}} & b_{22} \\ {\color{green}b_{31}} & b_{32} \end{pmatrix} $$
möglich?
Das Multiplizieren von $A$ und $B$ ist möglich,
da die Spaltenanzahl von $A$ der Zeilenanzahl von $B$ entspricht.
Ist eine Multiplikation der Matrizen
$$ A_{(2,{\color{red}3})} \cdot B_{({\color{red}2},2)} = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & {\color{red}a_{12}} & {\color{red}a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}b_{11}} & b_{12} \\ {\color{red}b_{21}} & b_{22} \end{pmatrix} $$
möglich?
Das Multiplizieren von $A$ und $B$ ist nicht möglich,
da die Spaltenanzahl von $A$ nicht der Zeilenanzahl von $B$ entspricht.
Produktmatrix
Das Ergebnis der Multiplikation heißt Produktmatrix, Matrixprodukt oder Matrizenprodukt.
Die Produktmatrix hat so viele Zeilen wie die Matrix $A$ und so viele Spalten wie die Matrix $B$.
$$ A_{({\color{blue}2},3)} \cdot B_{(3,{\color{blue}2})} = C_{({\color{blue}2},{\color{blue}2})} $$
$$ \begin{pmatrix} {\color{blue}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{blue}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}b_{11}} & {\color{blue}b_{12}} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}c_{11}} & {\color{blue}c_{12}} \\ {\color{blue}c_{21}} & {\color{blue}c_{22}} \end{pmatrix} $$
$$ A_{({\color{blue}2},3)} \cdot B_{(3,{\color{blue}4})} = C_{({\color{blue}2},{\color{blue}4})} $$
$$ \begin{pmatrix} {\color{blue}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{blue}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}b_{11}} & {\color{blue}b_{12}} & {\color{blue}b_{13}} & {\color{blue}b_{14}} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}c_{11}} & {\color{blue}c_{12}} & {\color{blue}c_{13}} & {\color{blue}c_{14}} \\ {\color{blue}c_{21}} & {\color{blue}c_{22}} & {\color{blue}c_{23}} & {\color{blue}c_{24}} \end{pmatrix} $$
Rechenregeln
$$ A \cdot (B+C) = (A \cdot B) + (A \cdot C) $$
$$ (A + B) \cdot C = (A \cdot C) + (B \cdot C) $$
ACHTUNG!
Im Allgemeinen gilt: $A \cdot B \neq B \cdot A$.
Das Kommutativgesetz (der Multiplikation) gilt für Matrizen nicht!
Matrizenmultiplikation mit dem Falk-Schema
Um Matrizen per Hand zu multiplizieren, verwendet man meist das sog. Falk-Schema
.
Kreuz einzeichnen
Matrix $\boldsymbol{A}$ unten links eintragen
Matrix $\boldsymbol{B}$ oben rechts eintragen
Ergebnismatrix $\boldsymbol{C}$ unten rechts eintragen
Elemente der Ergebnismatrix $\boldsymbol{C}$ berechnen
Ergebnis notieren
Am besten ist es, wenn wir das Falk-Schema anhand eines Beispiels erklären:
Gegeben sind die Matrizen
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. $$
Berechne das Matrixprodukt $A \cdot B$.
Kreuz einzeichnen
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ &&& \phantom{1} & \phantom{2} \\ &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ \hline \phantom{1} & \phantom{2} & \phantom{3} & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ \phantom{3} & \phantom{1} & \phantom{1} & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$
Matrix A unten links eintragen
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ &&& \phantom{1} & \phantom{2} \\ &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ \hline 1 & 2 & 3 & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$
Matrix B oben rechts eintragen
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1\\ &&& 1 & 2\\ &&& 2 & 1\\ \hline 1 & 2 & 3 & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$
Ergebnismatrix C unten rechts eintragen
Hinweis: Diesen Schritt kann man auslassen, wenn man bereits einige Aufgaben gelöst hat.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1 \\ &&& 1 & 2 \\ &&& 2 & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & {\color{red}x_{11}} & {\color{orange}x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & {\color{blue}x_{21}} & {\color{cyan}x_{22}} \end{array} $$
Elemente der Ergebnismatrix C berechnen
${\color{red}x_{11}}$ ergibt sich aus dem Skalarprodukt
der 1. Zeile der Matrix $A$ und der 1. Spalte der Matrix $B$.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& {\color{red}2} & 1 \\ &&& {\color{red}1} & 2 \\ &&& {\color{red}2} & 1 \\ \hline {\color{red}1} & {\color{red}2} & {\color{red}3} & {\color{red}x_{11}} & x_{12} \\ 3 & 1 & 1 & x_{21} & x_{22} \end{array} $$
$$ x_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = {\color{red}10} $$
${\color{orange}x_{12}}$ ergibt sich aus dem Skalarprodukt
der 1. Zeile der Matrix $A$ und der 2. Spalte der Matrix $B$.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & {\color{orange}1} \\ &&& 1 & {\color{orange}2} \\ &&& 2 & {\color{orange}1} \\ \hline {\color{orange}1} & {\color{orange}2} & {\color{orange}3} & x_{11} & {\color{orange}x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & x_{21} & x_{22} \end{array} $$
$$ x_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = {\color{orange}8} $$
${\color{blue}x_{21}}$ ergibt sich aus dem Skalarprodukt
der 2. Zeile der Matrix $A$ und der 1. Spalte der Matrix $B$.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& {\color{blue}2} & 1 \\ &&& {\color{blue}1} & 2 \\ &&& {\color{blue}2} & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & x_{11} & x_{12} \\ {\color{blue}3} & {\color{blue}1} & {\color{blue}1} & {\color{blue}x_{21}} & x_{22} \end{array} $$
$$ x_{21} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1\cdot 2 = {\color{blue}9} $$
${\color{cyan}x_{22}}$ ergibt sich aus dem Skalarprodukt
der 2. Zeile der Matrix $A$ und der 2. Spalte der Matrix $B$.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & {\color{cyan}1} \\ &&& 1 & {\color{cyan}2} \\ &&& 2 & {\color{cyan}1} \\ \hline 1 & 2 & 3 & x_{11} & x_{12} \\ {\color{cyan}3} & {\color{cyan}1} & {\color{cyan}1} & x_{21} & {\color{cyan}x_{22}} \end{array} $$
$$ x_{22} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = {\color{cyan}6} $$
Ergebnis notieren
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1 \\ &&& 1 & 2 \\ &&& 2 & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & {\color{red}10} & {\color{orange}8} \\ 3 & 1 & 1 & {\color{blue}9} & {\color{cyan}6} \end{array} $$
Die Ergebnismatrix lautet demnach
$$ C = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} $$
