Komplexe Zahlen addieren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man komplexe Zahlen addiert.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Gegeben sind zwei komplexe Zahlen
$$ z_1 = x_1 + y_1 \cdot i $$
$$ z_2 = x_2 + y_2 \cdot i $$
Die Summe der beiden Zahlen ist definiert durch
$$ z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + (y_1+y_2)i $$
Rechengesetze
Kommutativgesetz der Addition
$$ z_1 + z_2 = z_2 + z_1 $$
Assoziativgesetz der Addition
$$ z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3 $$
Beispiele
Komplexe Zahlen rechnerisch addieren
Tipp: Achte auf die Vorzeichen!
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 3 + 4i$ und $z_2 = 5 + 2i$.
Berechne $z_1 + z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 + z_2 &= (3 + 4i) + (5 + 2i) \\[5px] &= (3 + 5) + (4i + 2i) \\[5px] &= 8 + 6i \end{align*} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 7 + 5i$ und $z_2 = 3 + 3i$.
Berechne $z_1 + z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 + z_2 &= (7 + 5i) + (3 + 3i) \\[5px] &= (7 + 3) + (5i + 3i) \\[5px] &= 10 + 8i \end{align*} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 3 + 4i$ und $z_2 = 5 - 2i$.
Berechne $z_1 + z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 + z_2 &= (3 + 4i) + (5 - 2i) \\[5px] &= (3 + 5) + (4i - 2i) \\[5px] &= 8 + 2i \end{align*} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 7 - 5i$ und $z_2 = -3 + 3i$.
Berechne $z_1 + z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 + z_2 &= (7 - 5i) + (-3 + 3i) \\[5px] &= (7 + (-3)) + (-5i + 3i) \\[5px] &= 4 - 2i \end{align*} $$
Komplexe Zahlen graphisch addieren
Die Addition von komplexen Zahlen entspricht graphisch der Vektoraddition.
$$ \begin{align*} z_1 + z_2 &= (1 + 3i) + (3 - 2i) \\[5px] &= 4 +1i \end{align*} $$
