Quadratische Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was quadratische Funktionen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$
heißt quadratische Funktion.
Wegen $y = f(x)$ können wir statt $f(x) = ax^2 + bx + c$ auch $y = ax^2 + bx + c$ schreiben.
Charakteristische Eigenschaft
Im Funktionsterm quadratischer Funktionen kommt $x$ in der 2. Potenz, aber keiner höheren Potenz vor.
| Bezeichnung | Allgemeine Form | Beispiel |
|---|---|---|
| Konstante Funktionen | $f(x) = c$ | $f(x) = 5$ |
| Lineare Funktionen | $f(x) = m{\color{red}x} + b$ | $f(x) = 2{\color{red}x} + 5$ |
| Quadratische Funktionen | $f(x) = a{\color{red}x}^2 + bx + c$ | $f(x) = 3{\color{red}x}^2 + 2{\color{red}x} + 4$ |
| Kubische Funktionen | $f(x) = a{\color{red}x}^3 + b{\color{red}x}^2 + c{\color{red}x} + d $ | $f(x) = 4{\color{red}x}^3 + 5{\color{red}x}^2 + 3{\color{red}x} + 2$ |
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
In quadratische Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
In Abhängigkeit des Koeffizienten (Vorfaktors) des quadratischen Terms $x^2$ gilt:
$\boldsymbol{a > 0}$ | $\boldsymbol{a < 0}$ |
|---|---|
$\mathbb{W}_f$ ist nach unten beschränkt(durch den Scheitelpunkt) | $\mathbb{W}_f$ ist nach oben beschränkt(durch den Scheitelpunkt) |
Die Wertemenge von $f(x) = {\color{red}2}x^2 + x - 7$ ist wegen ${\color{red}2} > 0$ durch den Scheitelpunkt nach unten beschränkt.
Die Wertemenge von $f(x) = {\color{red}-3}x^2 + 2x + 4$ ist wegen ${\color{red}-3} < 0$ durch den Scheitelpunkt nach oben beschränkt.
Graph
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Die einfachste und populärste quadratische Funktion ist $f(x) = x^2$.
Deren Graph ist so wichtig im Schulunterricht, dass er einen eigenen Namen bekommt:
Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ heißt Normalparabel.
Wir wollen eine Normalparabel zeichnen.
Dazu berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 $$
$$ f(-1) = (-1)^2 = 1 $$
$$ f(0) = 0^2 = 0 $$
$$ f(1) = 1^2 = 1 $$
$$ f(2) = 2^2 = 4 $$
Der Übersichtlichkeit halber fassen unsere Berechnungen in einer Wertetabelle zusammen:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y\text{-Werte} & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} $$
Die Normalparabel an sich ist ziemlich langweilig. Spannender wird es, wenn wir die Lage und das Aussehen der Normalparabel im Koordinatensystem verändern und analysieren, wie sich dabei die Funktionsgleichung verändert. Die Grundlage für diese Untersuchung haben wir bereits im Kapitel Transformation von Funktionen gelegt.
Normalparabel nach oben/unten verschieben
Interaktive Graphik
Verschiebe den Knopf nach links oder rechts und beobachte, wie sich der Graph der quadratischen Funktion $f(x) = x^2$ nach oben (nach unten) verschiebt, indem man eine konstante Zahl addiert (subtrahiert).
$$ \begin{equation*} {\color{#E85A0C}f(x)} + c = \begin{cases} \text{ Verschiebung nach oben} &\text{für } c > 0 \\[5px] \text{ Verschiebung nach unten} &\text{für } c < 0 \end{cases} \end{equation*} $$
Normalparabel nach links/rechts verschieben
Interaktive Graphik
Verschiebe den Knopf nach links oder rechts und beobachte, wie sich der Graph der quadratischen Funktion $f(x) = x^2$ nach rechts bzw. links verschiebt.
$$ \begin{equation*} f({\color{#E8960C}x} + d) = \begin{cases} \text{ Verschiebung nach rechts} &\text{für } d < 0 \\[5px] \text{ Verschiebung nach links} &\text{für } d > 0 \end{cases} \end{equation*} $$
Normalparabel stauchen/strecken
Interaktive Graphik
Verschiebe den Knopf nach links oder rechts und beobachte, wie sich der Graph der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2$ in Abhängigkeit des Parameters $a$ verändert.
Damit du dir Unterschiede deutlich machen kannst, haben wir zusätzlich die Normalparabel in grau eingezeichnet.
Möchte man die Normalparabel stauchen oder strecken, muss man sich die Parabelgleichung $f(x) = ax^2$ anschauen.
$a > 1$ | Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler* als die Normalparabel |
$a = 1$ | Die nach oben geöffnete Normalparabel |
$0 < a < 1$ | Die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter** als die Normalparabel |
$-1 < a < 0$ | Die Parabel ist nach unten geöffnet und breiter** als die Normalparabel |
$a = -1$ | Die nach unten geöffnete Normalparabel |
$a < -1$ | Die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler* als die Normalparabel |
* Statt schmaler
sagt man auch, dass der Graph (in Richtung der $y$-Achse) gestreckt ist.
** Statt breiter
sagt man auch, dass der Graph (in Richtung der $y$-Achse) gestaucht ist.
Für $a < 0$ ist die Parabel nach unten geöffnet. Das bedeutet, dass sie im Vergleich zur Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt ist.
Scheitelpunkt einer Parabel
Der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel heißt Scheitelpunkt.
Ist die Parabel nach oben geöffnet ($a > 0$), so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Funktion.
Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.
Ist die Parabel nach unten geöffnet ($a < 0$), so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Funktion.
Statt vom höchsten Punkt spricht man auch vom Maximum der Funktion.
Ausblick
Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen:
| Parabel zeichnen | |
| Parabel nach links oder rechts verschieben | $f(x) = (x-d)^2$ |
| Parabel nach oben oder unten verschieben | $f(x) = x^2 + c$ |
| Parabel strecken oder stauchen | $f(x) = ax^2$ |
| Punktprobe | Liegt $\text{P}$ auf $\text{G}_f$? |
$y$-Achsenabschnitt berechnen | $x = 0$ |
| Nullstellen berechnen | $y = 0$ |
| Funktionsgleichung bestimmen | $f(x) = \dotsc$ |
| Quadratische Ergänzung | $x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2$ |
| Scheitelpunktform berechnen | $f(x) = a(x-d)^2 + e$ |
| Scheitelpunkt berechnen | $S(x_s|y_s)$ |
| Faktorisierte Form | $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ |
| Lagebeziehungen | |
| Lagebeziehung Parabel-Parabel | |
| Lagebeziehung Parabel-Gerade | |
| Umkehrfunktion | |
| Umkehrfunktion bilden |
