Definitionsbereich bestimmen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man den Definitionsbereich einer Funktion bestimmt. Häufig spricht man auch von der Definitionsmenge. Die beiden Begriffe haben dieselbe Bedeutung.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Definitionsmenge
Einordnung
Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element $x$ des Definitionsbereichs $\mathbb{D}$
genau ein Element $y$ des Wertebereichs $\mathbb{W}$
zugeordnet ist.
Aus der Definition einer Funktion folgt, dass eine Funktion aus drei Teilen besteht:
Funktionsgleichung
Definitionsbereich
Wertebereich
Der Definitionsbereich beantwortet die Frage:Welche
$x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?
Nehmen wir an, dass du die Funktion $f(x) = x^2$ untersuchen sollst. In der Aufgabenstellung ist zusätzlich der Definitionsbereich angegeben: $D_f = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Der Definitionsbereich sagt uns in diesem Fall, dass wir nur die Werte $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ in die Funktion $f(x) = x^2$ einsetzen dürfen. Warum ist das so? Ganz einfach: Den Definitionsbereich hat der Aufgabensteller, d. h. der Erfinder
der Aufgabe festgelegt.
Wir merken uns:
Der Aufgabensteller kann den Definitionsbereich einer Funktion beliebig einschränken.
Wenn du in einer Aufgabe jedoch aufgefordert wirst, den Definitionsbereich zu bestimmen
, dann ist damit der maximale Definitionsbereich gemeint, für den die Rechenvorschrift grundsätzlich ausführbar ist.
Der maximale Definitionsbereich der Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}_0$, denn für einen negativen Radikanden ist das Wurzelziehen nicht definiert.
Der maximale Definitionsbereich der Funktion $2x^2 + x = 55\ \textrm{m}²$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}$, denn ein Flächeninhalt kann nur mithilfe positiver Seitenlängen berechnet werden.
Zur Erinnerung hier noch mal die wichtigsten Zahlenmengen:
| Natürliche Zahlen | $\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, \dots\}$ |
| Ganze Zahlen | $\mathbb{Z}=\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,\dots\}$ |
| Rationalen Zahlen | $\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n} \,|\, m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}$ |
| Reelle Zahlen | $\mathbb{R}$ |
Wie in den obigen Beispielen bereits gezeigt, lassen sich diese Zahlenmengen noch einschränken: $\mathbb{R}^{+}$ sind alle positiven reellen Zahlen, $\mathbb{R}^{+}_0$ sind alle nichtnegativen reellen Zahlen, also alle positiven reellen Zahlen inkl. $0$.
Definitionsbereiche wichtiger Funktionen
Ganzrationale Funktionen
Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist $\mathbb{R}$.
Zu den ganzrationalen Funktionen gehören u. a. lineare Funktionen und quadratische Funktionen.
Der Definitionsbereich von $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x - 8$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.
Gebrochenrationale Funktionen
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
Definitionsbereich aufschreiben
Eine Division durch Null ist nicht erlaubt, weshalb wir uns den Nenner einer gebrochenrationalen Funktion stets genauer anschauen müssen. Die $x$-Werte, für die der Nenner gleich Null wird, müssen wir aus dem Definitionsbereich ausschließen. Dadurch entstehen sog. Definitionslücken – das sind Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist.
Bestimme den Definitionsbereich der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$.
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x + 1 = 0 $$
Gleichung lösen
$$ \begin{align*} x + 1 &= 0 &&|\, -1 \\[5px] x &= -1 \end{align*} $$
Definitionsbereich aufschreiben
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $$
Bestimme den Definitionsbereich der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{x^3 - 7}{3x \cdot (x-2)}$.
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ 3x \cdot (x-2) = 0 $$
Gleichung lösen
Nach dem Satz vom Nullprodukt erhalten wir:
$$ x_1 = 0 $$
$$ x_2 = 2 $$
Definitionsbereich aufschreiben
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{0; 2\} $$
Exponentialfunktionen
Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ist $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.
Die folgenden Beispiele beziehen sich auf die bekannteste Exponentialfunktion, die sog. e-Funktion.
Der Definitionsbereich von $f(x) = (x-1) \cdot e^{x^3-4}$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.
Logarithmusfunktionen
Der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion ist $\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}$.
Die Logarithmusfunktion ist nur definiert, wenn die innere Funktion, der sog. Numerus, größer Null ist.
Die folgenden Beispiele beziehen sich auf die bekannteste Logarithmusfunktion, die sog. ln-Funktion.
Bestimme den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion $f(x) = \ln (x-1)$.
Bestimmen, wann der Numerus des Logarithmus größer Null ist
$$ \begin{align*} x-1 &> 0 &&|\, +1 \\[5px] x &> 1 \end{align*} $$
Definitionsbereich aufschreiben
$$ \mathbb{D}_f =\left]1; \infty\right[ $$
Bestimme den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion $f(x) = \ln (x^2-1)$.
Bestimmen, wann der Numerus des Logarithmus größer Null ist
$$ \begin{align*} x^2 - 1 &> 0 &&|\, +1 \\[5px] x^2 &> 1 &&|\, \sqrt{\phantom{x}} \\[5px] \pm x &> 1 \end{align*} $$
Intervall 1
$$ x > 1 $$
Intervall 2
$$ -x > 1 \quad \Rightarrow \quad x < -1 $$
Daraus folgt, dass die Funktion im Intervall $-1$ bis $1$ nicht definiert ist.
Definitionsbereich aufschreiben
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \left[-1; 1\right] $$
