Lineare Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Funktionen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ f(x) = mx + n $$
heißt lineare Funktion.
Wegen $y = f(x)$ können wir statt $f(x) = mx + n$ auch $y = mx + n$ schreiben.
Symbolverzeichnis
$y$: Abhängige Variable,$y$-Wert, Funktionswert$m$: Steigung$x$: Unabhängige Variable,$x$-Wert, (Funktions-)Argument$n$:$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt
Charakteristische Eigenschaft
Im Funktionsterm linearer Funktionen kommt $x$ in der 1. Potenz, aber keiner höheren Potenz vor.
| Bezeichnung | Allgemeine Form | Beispiel |
|---|---|---|
| Konstante Funktionen | $f(x) = c$ | $f(x) = 5$ |
| Lineare Funktionen | $f(x) = m{\color{red}x} + b$ | $f(x) = 2{\color{red}x} + 5$ |
| Quadratische Funktionen | $f(x) = a{\color{red}x}^2 + bx + c$ | $f(x) = 3{\color{red}x}^2 + 2{\color{red}x} + 4$ |
| Kubische Funktionen | $f(x) = a{\color{red}x}^3 + b{\color{red}x}^2 + c{\color{red}x} + d $ | $f(x) = 4{\color{red}x}^3 + 5{\color{red}x}^2 + 3{\color{red}x} + 2$ |
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
In lineare Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Lineare Funktionen können grundsätzlich alle reellen Zahlen annehmen:
$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R} $$
Graph
Der Graph einer linearen Funktion ist eine steigende oder fallende Gerade.
Eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft, heißt Ursprungsgerade.
Nicht immer handelt es sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Ursprungsgerade:
y-Achsenabschnitt verändern
Wenn wir den $y$-Achsenabschnitt $n$ in $f(x) = mx + n$ verändern, passiert Folgendes:
- Gilt
$n > 0$, ist die Gerade nach oben verschoben. - Gilt
$n < 0$, ist die Gerade nach unten verschoben.
Sonderfall: Gilt $n = 0$, verläuft die Gerade durch den Ursprung.
Steigung verändern
Wenn wir die Steigung $m$ in $f(x) = mx + n$ verändern, passiert Folgendes:
- Gilt
$m > 0$, steigt die Gerade. - Gilt
$m < 0$, fällt die Gerade.
Sonderfall: Gilt $m = 0$, ist die Gerade waagrecht*.
* Eine waagrechte Gerade ist der Graph einer konstanten Funktion.
Gilt für die Steigung $m = 0$, verläuft die Gerade waagrecht.
In der Abbildung sind folgende drei waagrechte Geraden eingezeichnet:
$$ y = \phantom{-}3 \qquad \Rightarrow \quad n = \phantom{-}3 $$
$$ y = \phantom{-}0 \qquad \Rightarrow \quad n = \phantom{-}0 $$
$$ y = -2 \qquad \Rightarrow \quad n = -2 $$
Ausnahme: Senkrechte Gerade
Eine senkrechte Gerade ist keine Funktion!
Eine Funktion liegt nämlich nur dann vor, wenn jedem $x \in \mathbb{D}$ genau ein $y \in \mathbb{W}$ zugeordnet ist
(vgl. Definition einer Funktion).
In der Abbildung sind einem $x$-Wert (z. B. $x = -3$) unendlich viele $y$-Werte zugeordnet.
Ausblick
Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen:
