Steigung einer linearen Funktion
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Steigung einer linearen Funktion berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Lineare Funktionen
Einordnung
Die Steigung einer linearen Funktion lässt sich aus der Funktionsgleichung ablesen: In $y = mx + n$ steht $m$ für die Steigung.
Im Folgenden besprechen wir einige Aufgabenstellungen, in denen die Steigung gesucht, die Funktionsgleichung aber nicht gegeben ist.
Steigung berechnen
Graph gegeben
Koordinaten zweier Punkte ablesen
Steigung mithilfe der Steigungsformel berechnen
zu 2)
Hauptkapitel: Steigungsformel
Wir lesen zwei beliebige Punkte ab
$$ P_0({\color{maroon}0}|{\color{red}1}) \text{ und } P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}3}) $$
und setzen sie in die Steigungsformel ein
$$ \begin{align*} m &= \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \frac{{\color{red}3} - ({\color{red}1})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}0}}\\[5px] &= \frac{2}{4} \\[5px] &= \frac{1}{2} \end{align*} $$
Steigungsdreieck einzeichnen
Steigung berechnen
zu 1)
Hauptkapitel: Steigungsdreieck
Um die Steigung graphisch zu ermitteln, brauchen wir ein sog. Steigungsdreieck.
Dazu suchen wir uns einen beliebigen Punkt auf der Gerade und gehen von diesem $1$ Längeneinheit nach rechts (also in $x$-Richtung)…
…von diesem Punkt gehen wir solange nach oben (also in $y$-Richtung), bis wir wieder die Gerade getroffen haben.
Wir können ablesen, dass wir $2$ Längeneinheiten nach oben gehen müssen, bis der Graph der linearen Funktion erreicht ist.
Für die Steigung gilt
$$ m = \frac{y}{x} = \frac{2}{1} = 2 $$
Alternativ können wir auch mehr oder weniger Längeneinheiten in $x$-Richtung gehen:
Wenn wir z. B. $2$ Längeneinheiten in $x$-Richtung gehen, dann müssen wir $4$ Längeneinheiten in $y$-Richtung gehen, bis wir den Graphen erreichen.
An dem Wert der Steigung ändert sich dadurch natürlich nichts
$$ m = \frac{y}{x} = \frac{4}{2} = 2 $$
TIPP
Es empfiehlt sich, stets eine Längeneinheit in $\boldsymbol{x}$-Richtung zu gehen, da sich dadurch die Berechnung der Steigung erheblich vereinfacht. Sie entspricht dann nämlich dem Wert, den man in $y$-Richtung abliest.
Für $x = 1$ gilt:
$$ m = \frac{y}{x} = \frac{y}{1} = y $$
Zwei Punkte gegeben
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
zu 1)
Hauptkapitel: Steigungsformel
Gegeben sind zwei Punkte $P_0({\color{maroon}2}|{\color{red}-3})$ und $P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}6})$.
Wie groß ist die Steigung der Gerade, die durch diese beiden Punkte verläuft?
Formel aufschreiben
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{m} = \frac{{\color{red}6} - ({\color{red}-3})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}2}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{m} &= \frac{9}{2} \\[5px] &= 4{,}5 \end{align*} $$
Steigungswinkel gegeben
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
zu 1)
Hauptkapitel: Steigungswinkel
