Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Funktion ist.
Einordnung
In der realen Welt begegnen uns häufig Abhängigkeiten zwischen zwei Größen.
Beispiele aus der Geometrie
Beispiele aus der Physik
Um diese Abhängigkeiten besser zu verstehen, müssen wir uns vom konkreten Sachverhalt loslösen und abstrakter formulieren. In diesem Zusammenhang haben wir bereits die sog. Zuordnungen kennengelernt, bei denen man die Abhängigkeit zweier Größen durch einen Pfeil, den Zuordnungspfeil $\longmapsto$, darstellt.
Wir gehen in eine Metzgerei, um ein paar belegte Brötchen zu kaufen.
Laut Preistafel kostet 1 belegtes Brötchen 2 €.
Der Anzahl der Brötchen lässt sich ihr Preis zuordnen:
$$ \text{Anzahl Brötchen} \longmapsto \text{Preis} $$
$$ 1 \longmapsto 2 $$
$$ 2 \longmapsto 4 $$
$$ 3 \longmapsto 6 $$
$$ 4 \longmapsto 8 $$
Allgemein kann man sagen:
Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert zu.
Erst wenn wir verstanden haben, was eine Zuordnung ist, können wir uns mit Funktionen näher beschäftigen. Grund dafür ist, dass eine Funktion nichts anderes als eine Zuordnung mit bestimmten Eigenschaften ist. Außerdem müssen wir unseren mathematischen Wortschatz um einige Vokabeln erweitern.
Zurück zu unserem Beispiel:
Die $\text{Anzahl Brötchen}$ sowie den $\text{Preis}$ können wir als Mengen verstehen.
Die linke Menge besteht aus den Werten von $\text{Anzahl Brötchen}$. Die rechte Menge gibt die $\text{Preise}$ wieder.
Wie wir bereits wissen, besteht zwischen den beiden Mengen eine Beziehung. Diese Beziehung lässt sich mit Zuordnungspfeilen verdeutlichen.
Bislang haben wir also nur die Zuordnung
$$ 1 \longmapsto 2 $$
$$ 2 \longmapsto 4 $$
$$ 3 \longmapsto 6 $$
$$ 4 \longmapsto 8 $$
etwas anschaulicher als Mengen dargestellt.
Jetzt lernen wir noch ein paar neue Begriffe:
Die linke Menge nennen wir Definitionsmenge, die rechte Menge Wertemenge.
Die Elemente der linken Menge bezeichnen wir als $\boldsymbol{x}$-Werte, die Elemente der rechten Menge als $\boldsymbol{y}$-Werte.
Allgemein kann man sagen, dass einem $x$-Wert ein $y$-Wert zugeordnet ist: $x \longmapsto y$.
Definition
Eine Funktion ist also eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Mathematiker formulieren das so:
Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element $x$ der Definitionsmenge $D$
genau ein Element $y$ der Wertemenge $W$
zugeordnet ist.
Kurzschreibweise: $f\colon D \to W$
Um die Definition besser zu verstehen, schauen wir uns anhand einiger Abbildungen an, was eine Funktion und was keine Funktion ist.
Bei $f\colon A \to B$ handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element $x$ der Menge $\text{A}$ genau ein Element $y$ der Menge $\text{B}$ zugeordnet ist.
Dass sich einem Element aus der Menge $\text{B}$ zwei Elemente der Menge $\text{A}$ zuordnen lassen, spielt keine Rolle. Es handelt sich laut Definition trotzdem um eine Funktion.
Die Erkenntnisse aus den obigen Beispielen lassen sich folgendermaßen zusammenfassen:
Eine Funktion liegt vor, wenn von jedem Element $x$ der linken Menge (Definitionsmenge) genau ein Pfeil abgeht. Von wie vielen Pfeilen ein Element $y$ der rechten Menge (Wertemenge) getroffen wird, spielt dagegen für die Definition einer Funktion keine Rolle.
Bezeichnungen und Schreibweisen
Leider verwenden nicht alle Autoren/Lehrer dieselben Begriffe. Es ist deshalb notwendig, dass man die alternativen Bezeichnungen im Hinterkopf behält, um Verwirrungen beim Lesen verschiedener Mathematiktexte oder beim Anschauen von Lernvideos zu vermeiden.
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
$f$ | Name der Funktion |
$x$ | Argument, $x$-Wert, unabhängige Variable |
$y$ | Funktionswert, $y$-Wert, abhängige Variable |
$y = f(x)$y gleich f von x | Funktionsgleichung, Zuordnungsvorschrift* |
$D$ (oder $\mathbb{D}$) | Definitionsmenge, Definitionsbereich |
$W$ (oder $\mathbb{W}$) | Wertemenge, Wertebereich |
* Was bei Zuordnungen die Zuordnungsvorschrift ist, bezeichnet man bei Funktionen als Funktionsgleichung. Da aber eine Funktion letztlich eine Zuordnung ist, spricht man auch bei Funktionen manchmal von der Zuordnungsvorschrift.
Bestandteile einer Funktion
Eine Funktion besteht aus drei Teilen:
- Funktionsgleichung
- Definitionsmenge
- Wertemenge
Identische Funktionen
Zwei Funktionen sind genau dann identisch, wenn sie in Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge übereinstimmen.
Demzufolge sind zwei Funktionen mit gleicher Funktionsgleichung, aber verschiedenen Definitionsmengen oder verschiedenen Wertemengen nicht identisch und können somit unterschiedliche Eigenschaften besitzen.
Beispiel
$$ y = 2x, \quad D = \{1, 2, 3, 4\}, \quad W = \{2, 4, 6, 8\} $$
Erklärung
Bei $y = 2x$ handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem $x$-Wert machen muss, um den dazugehörigen $y$-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder $x$-Wert mit $2$ multipliziert werden.
Bei $D = \{1, 2, 3, 4\}$ handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche $x$-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $4$ für $x$ einsetzen.
Bei $W = \{2, 4, 6, 8\}$ handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche $y$-Werte die Funktion annehmen kann.
Zusammenhänge verstehen
Wenn wir nacheinander die Zahlen aus dem Definitionsbereich $D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}$ in die Funktionsgleichung $y = 2x$ einsetzen, lässt sich Folgendes beobachten:
Gilt $x ={\color{red}1}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}1} ={\color{maroon}2}$.
Gilt $x ={\color{red}2}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}2} ={\color{maroon}4}$.
Gilt $x ={\color{red}3}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}3} ={\color{maroon}6}$.
Gilt $x ={\color{red}4}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}4} ={\color{maroon}8}$.
Setzt man alle Werte aus dem Definitionsbereich $D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}$ in die Funktionsgleichung $y = 2x$ ein, erhält man die Wertemenge $W = \{{\color{maroon}2},{\color{maroon}4},{\color{maroon}6},{\color{maroon}8}\}$.
In der Abbildung ist der Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und der Wertemenge noch einmal graphisch dargestellt. Die Funktionsgleichung ist dabei das Bindeglied zwischen den beiden Mengen:
$$ \underbrace{\text{Definitionsmenge}}_{x\text{-Werte}} \underset{y~=~2x}{\longrightarrow} \underbrace{\text{Wertemenge}}_{y\text{-Werte}} $$
Meistens werden bei einer Funktion weder die Definitionsmenge noch die Wertemenge mit angegeben. Man kann dann davon ausgehen, dass die maximal mögliche Definitionsmenge (siehe Kapitel Definitionsbereich bestimmen) gemeint ist. Sobald die Definitionsmenge bestimmt ist, lässt sich die Wertemenge ganz leicht berechnen (siehe Kapitel Wertebereich bestimmen).
Mehr zum Thema Funktionen
Funktionen haben in der Mathematik eine große Bedeutung. Es verwundert deshalb nicht, dass sie oft Bestandteil von Prüfungen sind. In den folgenden Kapiteln wollen wir etwas tiefer in die Materie eintauchen und unsere Kenntnisse mithilfe von Beispielaufgaben erweitern:
| Grundlagen | |
| Funktion | $f\colon D \to W$ |
| Bestandteile einer Funktion | |
| Funktionsgleichung | $y = f(x)$ |
| Definitionsmenge | $D$ oder $\mathbb{D}$ |
| Wertemenge | $W$ oder $\mathbb{W}$ |
| Besondere Funktionen | |
| Konstante Funktionen | $f(x) = c$ |
| Lineare Funktionen | $f(x) = mx + n$ |
| Quadratische Funktionen | $f(x) = ax^2 + bx + c$ |
| Gebrochenrationale Funktionen | $f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0}$ |
