Abschnittsweise definierte Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was abschnittsweise definierte Funktionen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist die Definitionsmenge einer Funktion?
Einordnung
Bislang hatten wir es immer mit Funktionen zu tun, die – abgesehen von Definitionslücken – in ganz $\mathbb{R}$ definiert waren. Funktionen können aber auch nur für einen Teil von $\mathbb{R}$ definiert sein.
Normalerweise ist die lineare Funktion $f(x) = x$ in ganz $\mathbb{R}$ definiert.
Wir können jedoch die Definitionsmenge der Funktion beliebig einschränken, z. B. auf das Intervall $[-1;2]$.
Funktionen, die sich aus mehreren dieser Funktionen zusammensetzen, haben einen speziellen Namen:
Definition
Eine Funktion, die aus zwei oder mehreren Funktionen zusammengesetzt ist, wobei die einzelnen Funktionen für unterschiedliche Abschnitte auf der Zahlengerade definiert sind, heißt abschnittsweise definierte Funktion.
Die Abbildung zeigt den Graphen einer abschnittsweise definierten Funktion.
In diesem Fall ist die Definitionsmenge der Funktion in drei Teilintervalle (Abschnitte) unterteilt, für die die Funktion jeweils einen eigenen Funktionsterm besitzt.
Die Funktionsgleichung der abschnittsweise definierten Funktion ist
$$ f(x) = \begin{cases} -x - 2 &\text{für } x \in \; ]-\infty;-1[ \\[5px] x &\text{für } x \in [-1;2] \\[5px] -x+4 &\text{für } x \in \; ]2;\infty[ \end{cases} $$
Alternative Schreibweise
$$ f(x) = \begin{cases} -x - 2 &\text{für } x < -1 \\[5px] x &\text{für } -1 \leq x \leq 2 \\[5px] -x+4 &\text{für } x > 2 \end{cases} $$
Im Rahmen einer Kurvendiskussion interessiert man sich häufig für das Verhalten einer abschnittsweisen definierten Funktion beim Übergang von einem Teilintervall zum anderen.
Der Übergang von einem Teilintervall zum anderen heißt Nahtstelle.
Die Nahtstellen der Funktion
$$ f(x) = \begin{cases} -x - 2 &\text{für } x < -1 \\[5px] x &\text{für } -1 \leq x \leq 2 \\[5px] -x+4 &\text{für } x > 2 \end{cases} $$
sind bei $x = -1$ und $x = 2$.
Beispiele
Einige abschnittsweise definierte Funktionen sind besonders bekannt:
Die Betragsfunktion
$$ |x| = \begin{cases} -x &\text{für } x < 0 \\[5px] x &\text{für } x \geq 0 \end{cases} $$
Die Signumfunktion
$$ \text{sgn}(x) = \begin{cases} -1 &\text{für } x < 0 \\[5px] 0 &\text{für } x = 0 \\[5px] +1 &\text{für } x > 0 \end{cases} $$
Abschnittsweise definierte Funktionen werden uns wieder bei der Untersuchung der Stetigkeit von Funktionen begegnen. Bereits jetzt sei verraten: Die Betragsfunktion ist stetig, die Signumfunktion unstetig.
