Tangensfunktion
In diesem Kapitel schauen wir uns die Tangensfunktion etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Trigonometrische Funktionen
- Tangens
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ y = \tan(x) $$
heißt Tangensfunktion.
Wegen $y = f(x)$ können wir statt $y = \tan(x)$ auch $f(x) = \tan(x)$ schreiben.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
Für die Tangensfunktion gilt:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\} $$
Begründung
Wegen $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ und Eine Division durch Null ist nicht erlaubt!
sind alle Nullstellen der Kosinusfunktion Definitionslücken der Tangensfunktion.
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Die Tangensfunktion kann grundsätzlich alle reellen Zahlen annehmen:
$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R} $$
Graph
Der Graph der Tangensfunktion heißt Tangenskurve.
Um die Tangensfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ\\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\ \hline \tan(x) & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{n. def.} & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 \end{array} $$
Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente ($x$-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden.
Zur Erinnerung: $360^\circ$ (Gradmaß) entsprechen $2\pi$ (Bogenmaß).
Eigenschaften
Die Tangensfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:
Definitionsmenge
$$ \mathbb{D} =\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\} $$
Periode
$$ \tan(x + \pi) = \tan(x) $$
Die Tangensfunktion ist periodisch, d. h. ihre Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen ($\pi$).
Aus dem Kapitel zum Tangens wissen wir, dass gilt: $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
Um die Nullstellen der Tangensfunktion zu bestimmen, hilft uns folgender Satz:Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler gleich Null ist.
$\Rightarrow$ Nullstellen der Tangensfunktion = Nullstellen der Sinusfunktion
Nullstellen
$$ x_k = k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} $$
Beispiele
$$ \begin{align*} x_{-2} &= (-2) \cdot \pi = -2\pi \\[5px] x_{-1} &= (-1) \cdot \pi = -\pi \\[5px] x_{0} &= 0 \cdot \pi = 0 \\[5px] x_{1} &= 1 \cdot \pi = \pi \\[5px] x_{2} &= 2 \cdot \pi = 2\pi \end{align*} $$
Wenn wir uns den Zusammenhang $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ noch etwas genauer ansehen, können wir auch erkennen, an welchen Stellen die Tangensfunktion nicht definiert ist. Wir erinnern uns, dass der Nenner eines Bruchs nicht Null werden darf, da eine Division durch Null nicht erlaubt ist.
$\Rightarrow$ Definitionslücken der Tangensfunktion = Nullstellen der Kosinusfunktion
Die Tangensfunktion besitzt besondere Definitionslücken, sog. Polstellen.
Polstellen
$$ x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} $$
Beispiele
$$ \begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot \pi = -\frac{\pi}{2} \\[5px] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2} \\[5px] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \end{align*} $$
Die Funktionsgleichung der senkrechten Asymptoten ist demnach $x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$.
Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften
| Funktionsgleichung | $y = \tan(x)$ |
| Definitionsmenge | $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\}$ |
| Wertemenge | $\mathbb{W} = \mathbb{R}$ |
| Periode | $\pi$ |
| Symmetrie | Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung |
| Nullstellen | $x_k = k \cdot \pi$ $k \in \mathbb{Z}$ |
| Polstellen | $x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ |
| Senkrechte Asymptoten | $x_{\phantom{k}} = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ |
