Kosinusfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Kosinusfunktion etwas genauer an.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Bestandteile

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ y = \cos(x) $$

heißt Kosinusfunktion.

Wegen $y = f(x)$ können wir statt $y = \cos(x)$ auch $f(x) = \cos(x)$ schreiben.

Definitionsmenge

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$ -Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In die Kosinusfunktion dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$

Wertemenge

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$ -Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Die Kosinusfunktion kann alle reellen Zahlen im Intervall von $-1$ bis $1$ (jeweils eingeschlossen) annehmen:

$$ \mathbb{W}_f = [1; 1] $$

Graph

Der Graph der Kosinusfunktion heißt Kosinuskurve.

Um die Kosinusfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ\\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\ \hline \cos(x) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \end{array} $$

Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente ( $x$ -Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden.

Zur Erinnerung: $360^\circ$ (Gradmaß) entsprechen $2\pi$ (Bogenmaß).

Zum Zeichnen sind insbesondere folgende Punkte von Bedeutung:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x & 0^\circ & 90^\circ & 180^\circ & 270^\circ & 360^\circ\\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{2}} & {\color{gray}2\pi} \\ \hline \cos(x) & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} $$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ y = \cos(x) $$

Abb. 1

Eigenschaften

Die Kosinusfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:

Definitionsmenge

$$ \mathbb{D} = \mathbb{R} $$

Abb. 2

Wertemenge

$$ \mathbb{W} = [-1;1] $$

Abb. 3

Periode

$$ \cos(x + 2\pi) = \cos(x) $$

Die Kosinusfunktion ist periodisch, d. h. ihre Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen ( $2\pi$ ).

Abb. 4

Symmetrie

$$ \cos(-x) = \cos(x) $$

Achsensymmetrie zur $y$ -Achse

Abb. 5

Nullstellen

$$ x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} $$

Beispiele

$$ \begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot \pi = -\frac{\pi}{2} \\[5px] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2} \\[5px] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \end{align*} $$

Abb. 6

Relative Maxima

$$ x_k = k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} $$

Beispiele

$$ \begin{align*} x_{-1} &= (-1) \cdot 2\pi = -2\pi \\[5px] x_{0} &= 0 \cdot 2\pi = 0 \\[5px] x_{1} &= 1 \cdot 2\pi = 2\pi \end{align*} $$

Abb. 7

Relative Minima

$$ x_k = \pi + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} $$

Beispiele

$$ \begin{align*} x_{-1} &= \pi + (-1) \cdot 2\pi = -\pi \\[5px] x_{0} &= \pi + 0 \cdot 2\pi = \pi \\[5px] x_{1} &= \pi + 1 \cdot 2\pi = 3\pi \end{align*} $$

Abb. 8

Zusammenhang mit Sinuskurve

Die Kosinuskurve geht aus der Sinuskurve durch Verabschiebung um $\frac{\pi}{2}$ nach links hervor. Mathematisch bedeutet das:

$$ \cos(x) = \sin(x + \tfrac{\pi}{2}) $$

Abb. 9

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften


Funktionsgleichung	$y = \cos(x)$
Definitionsmenge	$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Wertemenge	$\mathbb{W} = [-1;1]$
Periode	$2\pi$
Symmetrie	Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
Nullstellen	$x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ $k \in \mathbb{Z}$
Relative Maxima	$x_k = k \cdot 2\pi$
Relative Minima	$x_k = \pi + k \cdot 2\pi$

Die Kosinuskurve geht aus der Sinuskurve durch Verabschiebung um $\frac{\pi}{2}$ nach links hervor.