Grenzwert
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Grenzwert einer Funktion ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Einordnung
Im Rahmen einer Kurvendiskussion möchte man möglichst viele Informationen über eine Funktion und deren Graphen erhalten. Eine dieser Informationen liefert der Grenzwert:
Wie verhalten sich die $y$-Werte, wenn die $x$-Werte in eine bestimmte Richtung gehen?
Dabei können wir folgende Fälle unterscheiden:
- Die
$x$-Werte gehen gegen unendlich - Die
$x$-Werte gehen gegen eine endliche Stelle$x_0$
Grenzwert im Unendlichen
Gegeben sei der Graph der quadratischen Funktion $f(x) = x^2$. Dabei handelt es sich um die sog. Normalparabel.
So schön die obige Abbildung auch sein mag, es zeigt folgendes Problem: Wir können immer nur einen bestimmten Ausschnitt der Funktion darstellen, also nie die ganze Funktion, unabhängig davon, wie groß wir das Koordinatensystem zeichnen.
Es bleibt letztlich die Frage: Wie sieht der Graph der Funktion außerhalb des Koordinatensystems aus? Was passiert also, wenn wir unendlich große oder unendlich kleine Werte für $x$ in die Funktion einsetzen?
Eine Antwort auf diese Fragen liefert uns der Grenzwert.
Grenzwert für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{+\infty}$ berechnen
Frage (Deutsch)
Wie verhalten sich die $y$-Werte, wenn die $x$-Werte immer größer werden?
Frage (Formelsprache)
Die obige Frage können wir ganz einfach in Formelsprache übersetzen:
$$ \lim_{x \to +\infty} x^2 $$
Sprich: Limes von
$x^2$ für $x$ gegen $+\infty$ (plus unendlich)
Dabei ist Limes
nichts anderes als der Fachbegriff für Grenzwert
.
Antwort
Um zu untersuchen, wie sich die $y$-Werte verhalten, wenn die $\boldsymbol{x}$-Werte immer größer werden, stellen wir folgende Wertetabelle auf:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 & \cdots \\ \hline f(x) & 1 & 100 & 10.000 & 1.000.000 & 100.000.000 & \cdots \end{array} $$
Wenn wir für $x$ den Wert $10$ einsetzen, erhalten wir einen Funktionswert von $100$.
Setzt man $10.000$ ein, erhält man einen Funktionswert von $100.000.000$.
Wir können uns vorstellen, was passiert, wenn wir noch größere Werte einsetzen: Die Funktionswerte werden unendlich groß.
Mathematisch formuliert bedeutet das:
$$ \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty $$
Sprich: Der Limes von
$x^2$ für $x$ gegen $+\infty$ ist $+\infty$
Damit haben wir unseren ersten Grenzwert berechnet! War doch gar nicht so schwer, oder?
Eine Frage bleibt allerdings noch…
Grenzwert für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{-\infty}$ berechnen
Frage (Deutsch)
Wie verhalten sich die $y$-Werte, wenn die $x$-Werte immer kleiner werden?
Frage (Formelsprache)
$$ \lim_{x \to -\infty} x^2 $$
Sprich: Limes von
$x^2$ für $x$ gegen $-\infty$ (minus unendlich)
Antwort
Um zu untersuchen, wie sich die $y$-Werte verhalten, wenn die $\boldsymbol{x}$-Werte immer kleiner werden, stellen wir folgende Wertetabelle auf:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 & \cdots \\ \hline f(x) & 1 & 100 & 10.000 & 1.000.000 & 100.000.000 & \cdots \end{array} $$
Wenn wir für $x$ den Wert $-10$ einsetzen, erhalten wir einen Funktionswert von $100$.
Setzt man $-10.000$ ein, erhält man einen Funktionswert von $100.000.000$.
Wir können uns vorstellen, was passiert, wenn wir noch kleinere Werte einsetzen: Die Funktionswerte werden unendlich groß.
Mathematisch formuliert bedeutet das:
$$ \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty $$
Sprich: Der Limes von
$x^2$ für $x$ gegen $-\infty$ ist $+\infty$
Untersuche das Verhalten der Funktion $f(x) = x^3$ im Unendlichen.
Immer wenn nach dem Verhalten im Unendlichen
gefragt ist, musst du zwei Grenzwerte berechnen: Einmal $x \to +\infty$ und einmal $x \to -\infty$.
Grenzwert für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{+\infty}$ berechnen
Wenn die $\boldsymbol{x}$-Werte immer größer werden,
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & 1 & 1.000 & 1.000.000 & 1.000.000.000 & \cdots \end{array} $$
werden auch die $y$-Werte immer größer, d. h.
$$ \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty $$
Für $x$ gegen $+\infty$ strebt der Graph der Funktion gegen $+\infty$.
Grenzwert für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{-\infty}$ berechnen
Wenn die $\boldsymbol{x}$-Werte immer kleiner werden,
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & -1 & -1.000 & -1.000.000 & -1.000.000.000 & \cdots \end{array} $$
werden auch die $y$-Werte immer kleiner, d. h.
$$ \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty $$
Für $x$ gegen $-\infty$ strebt der Graph der Funktion gegen $-\infty$.
Graphische Darstellung
Untersuche das Verhalten der Funktion $f(x) = \frac{x+2}{x}$ im Unendlichen.
Immer wenn nach dem Verhalten im Unendlichen
gefragt ist, musst du zwei Grenzwerte berechnen: Einmal $x \to +\infty$ und einmal $x \to -\infty$.
Grenzwert für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{+\infty}$ berechnen
Wenn die $\boldsymbol{x}$-Werte immer größer werden,
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 \\ \hline f(x) & 3 & 1{,}2 & 1{,}02 & 1{,}002 & 1{,}0002 \end{array} $$
nähern sich die $y$-Werte der $1$ an, d. h.
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{x} = 1 $$
Für $x$ gegen $+\infty$ strebt der Graph der Funktion gegen $1$.
Grenzwert für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{-\infty}$ berechnen
Wenn die $\boldsymbol{x}$-Werte immer kleiner werden,
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 \\ \hline f(x) & -1 & 0{,}8 & 0{,}98 & 0{,}998 & 0{,}9998 \end{array} $$
nähern sich die $y$-Werte der $1$ an, d. h.
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x+2}{x} = 1 $$
Für $x$ gegen $-\infty$ strebt der Graph der Funktion gegen $1$.
Graphische Darstellung
Grenzwert an einer endlichen Stelle
Bislang haben wir nur besprochen, wie man mithilfe einer Grenzwertberechnung das Verhalten einer Funktion im Unendlichen untersucht. Manchmal ist aber auch das Verhalten einer Funktion bei der Annäherung an eine endliche Stelle $x_0$ interessant.
Statt $x \to \infty$ geht es hierbei um die Frage: $x \to x_0$. Dabei ist $x_0$ eine reelle Zahl.
Der Grenzwert $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ existiert genau dann, wenn der links- und der rechtsseitige Grenzwert existieren und beide gleich sind.
Prüfe, ob die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ an der Stelle $x_0 = 0$ einen Grenzwert besitzt.
Linksseitigen Grenzwert berechnen
Frage (Deutsch)
Wie verhalten sich die $y$-Werte, wenn sich die $x$-Werte der Stelle $x_0 = 0$ von links nähern?
Frage (Formelsprache)
$$ \lim\limits_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} $$
Das Minuszeichen neben der $0$ steht für eine Annäherung von links, also von den negativen Zahlen her kommend.
Antwort
In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass die $y$-Werte der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ bei einer linksseitigen Annäherung an die Stelle $x_0 = 0$ (rote Linie!) gegen $-\infty$ streben.
Folglich gilt:
$$ \lim\limits_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty $$
Rechtsseitigen Grenzwert berechnen
Frage (Deutsch)
Wie verhalten sich die $y$-Werte, wenn sich die $x$-Werte der Stelle $x_0$ von rechts nähern?
Frage (Formelsprache)
$$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} $$
Das Pluszeichen neben der $0$ steht für eine Annäherung von rechts, also von den positiven Zahlen her kommend.
Antwort
In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass die $y$-Werte der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ bei einer rechtsseitigen Annäherung an die Stelle $x_0 = 0$ (grüne Linie!) gegen $+\infty$ streben.
Folglich gilt:
$$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty $$
Prüfen, ob der beidseitige Grenzwert existiert
Der beidseitige Grenzwert $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ existiert nur, wenn gilt:
$$ \underbrace{\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)}_{\text{Linksseitiger Grenzwert}} = \underbrace{\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)}_{\text{Rechtsseitiger Grenzwert}} $$
Prüfe, ob die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2}$ an der Stelle $x_0 = 0$ einen Grenzwert besitzt.
Dass die Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0 = 0$ eine Definitionslücke besitzt, spielt hier keine Rolle. Wie wir gleich sehen werden, kann trotzdem ein Grenzwert existieren.
Linksseitigen Grenzwert berechnen
Wenn sich die $\boldsymbol{x}$-Werte von links der Stelle $\boldsymbol{x_0 = 0}$ nähern,
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -0{,}5 & -0{,}1 & -0{,}01 & \cdots \\ \hline f(x) & 1 & 4 & 100 & 10.000 & \cdots \end{array} $$
werden die $y$-Werte immer größer, d. h.
$$ \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^2} = +\infty $$
Für $x$ gegen $0^{-}$ strebt die Funktion gegen $+\infty$.
Rechtsseitigen Grenzwert berechnen
Wenn sich die $\boldsymbol{x}$-Werte von rechts der Stelle $\boldsymbol{x_0 = 0}$ nähern,
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}01 & \cdots \\ \hline f(x) & 1 & 4 & 100 & 10.000 & \cdots \end{array} $$
werden die $y$-Werte immer größer, d. h.
$$ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^2} = +\infty $$
Für $x$ gegen $0^{+}$ strebt die Funktion gegen $+\infty$.
Prüfen, ob der beidseitige Grenzwert existiert
Wenn die zu untersuchende Funktion stetig ist, vereinfacht sich die Berechnung.
Für stetige Funktionen gilt:
$$ \lim_{x \to {\color{red}{x_0}}} f(x) = f({\color{red}{x_0}}) $$
Der Grenzwert einer stetigen Funktion an der Stelle $x_0$, entspricht dem Funktionswert an dieser Stelle.
Voraussetzung: $x_0$ gehört zur Definitionsmenge der Funktion!
Gegeben sei die stetige Funktion $f(x) = x^2$ mit $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.
Berechne den Grenzwert an der Stelle $x_0 = 2$.
Wir erhalten den gesuchten Grenzwert, indem wir $x = 2$ in die Funktion einsetzen:
$$ \lim_{x \to {\color{red}{2}}} x^2 = f({\color{red}{2}}) = {\color{red}{2}}^2 = 4 $$
Der Grenzwert der Funktion $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 2$ ist $4$.
Gegeben sei die stetige Funktion $f(x) = \frac{x-2}{x}$ mit $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Berechne den Grenzwert an der Stelle $x_0 = 5$.
Wir erhalten den gesuchten Grenzwert, indem wir $x = 5$ in die Funktion einsetzen:
$$ \lim_{x \to {\color{red}{5}}} \frac{x-2}{x} = f({\color{red}{5}}) = \frac{{\color{red}{5}}-2}{{\color{red}{5}}} = \frac{3}{5} = 0{,}6 $$
Der Grenzwert der Funktion $f(x) = \frac{x-2}{x}$ an der Stelle $x = 5$ ist $0{,}6$.
Zusammenfassung
Der Grenzwert ist eine wichtige Kennzahl im Rahmen einer Kurvendiskussion.
Rechnerisch bestimmt man Grenzwerte meist mithilfe von Wertetabellen.
Der Grenzwert im Unendlichen ($x \to \infty$) verrät, wie sich die $y$-Werte verhalten, wenn die $x$-Werte immer größer ($x \to +\infty$) oder immer kleiner ($x \to -\infty$) werden.
Der Grenzwert an einer endlichen Stelle ($x \to x_0$) verrät, wie sich die $y$-Werte verhalten, wenn sich die $x$-Werte der Stelle $x_0$ annähern. Der (beidseitige) Grenzwert existiert nur, wenn der linksseitige Grenzwert ($x \to x_{0}^{-}$) und der rechtsseitige Grenzwert ($x \to x_{0}^{+}$) übereinstimmen.
Bei stetigen Funktionen kann man sich die Berechnung des links- und rechtsseitigen Grenzwerts sparen: Der Grenzwert $x \to x_{0}$ entspricht dem Funktionswert $f(x_0)$, wobei $x_0$ natürlich zur Definitionsmenge gehören muss.
Online-Rechner
Ausblick
Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen:
| Rechenregeln für Grenzwerte | |
| Grenzwerte besonderer Funktionen | |
| Grenzwert einer Potenzfunktion | $$\lim_{x \to \infty} x^n$$ |
| Grenzwert einer Exponentialfunktion | $$\lim_{x \to \infty} a^x$$ |
| Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion | $$\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}$$ |
| Regel von l’Hospital | $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \text{ oder } \frac{\infty}{\infty}$$ |
| Anwendungen | |
| Stetigkeit einer Funktion | $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ |
