Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
In diesem Kapitel lernen wir, den Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion zu berechnen.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Wir wissen bereits, dass wir Grenzwerte mithilfe von Wertetabellen berechnen können. Dieses Vorgehen ist allerdings ziemlich zeitaufwändig. Bei einigen Funktionen können wir ohne Berechnung, also nur durch das Aussehen
der Funktionsgleichung auf den Grenzwert schließen.
Bei gebrochenrationalen Funktionen läuft die Grenzwertberechnung letztlich auf einen Vergleich des Zählergrads und des Nennergrads hinaus.
Grenzwert x gegen plus unendlich
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$+\infty$}} \frac{{\color{RoyalBlue}a_n} x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{{\color{RoyalBlue}b_m} x^m + \dots + b_1 x + b_ 0} = \begin{cases} 0 & \text{für } n < m \\[5px] \frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} & \text{für } n = m \\[5px] -\infty & \text{für $n > m$ und $\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} < 0$} \\[5px] +\infty & \text{für $n > m$ und $\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} > 0$} \end{cases} \end{equation*} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x-4}{2x^2-5} $$
für $x\to+\infty$.
Da der Zählergrad kleiner ist als Nennergrad, strebt die Funktion für $x \to +\infty$ gegen $0$:
$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x-4}{2x^2-5} = 0 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 10 & 100 & 1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 0{,}13 & \approx 0{,}015 & \approx 0{,}0015 & \cdots \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^2+x-4}{2x^2-5} $$
für $x\to+\infty$.
Da der Zählergrad genauso groß ist wie der Nennergrad, entspricht der Grenzwert dem Quotienten der Koeffizienten vor den Potenzen mit den höchsten Exponenten:
$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{{\color{Red}3}x^2+x-4}{{\color{Red}2}x^2-5} = \frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1{,}5 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 10 & 100 & 1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 1{,}57 & \approx 1{,}505 & \approx 1{,}5005 & \cdots \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^2-4}{2x-5} $$
für $x\to+\infty$.
Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad und $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to +\infty$ gegen $+\infty$:
$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2-4}{2x-5} = +\infty $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 10 & 100 & 1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 19{,}7 & \approx 153{,}8 & \approx 1503{,}8 & \cdots \end{array} $$
Grenzwert x gegen minus unendlich
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$-\infty$}} \frac{{\color{RoyalBlue}a_n} x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{{\color{RoyalBlue}b_m} x^m + \dots + b_1 x + b_ 0} = \begin{cases} 0 & \text{für } n < m \\[5px] \frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} & \text{für } n = m \\[5px] ??? & \text{für } n > m \phantom{x}^{*} \end{cases} \end{equation*} $$
* Gilt $n > m$ (Zählergrad größer Nennergrad) hängt es von verschiedenen Faktoren ab, ob die gebrochenrationale Funktion gegen $+\infty$ oder gegen $-\infty$ strebt. Das schauen wir uns weiter unten noch genauer an.
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x-4}{2x^2-5} $$
für $x\to-\infty$.
Da der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $0$:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x-4}{2x^2-5} = 0 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx -0{,}17 & \approx -0{,}015 & \approx -0{,}0015 & \cdots \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^2+x-4}{2x^2-5} $$
für $x\to-\infty$.
Da der Zählergrad genauso groß ist wie der Nennergrad, entspricht der Grenzwert dem Quotienten der Koeffizienten vor den Potenzen mit den höchsten Exponenten:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{{\color{Red}3}x^2+x-4}{{\color{Red}2}x^2-5} = \frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1{,}5 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 1{,}47 & \approx 1{,}495 & \approx 1{,}4995 & \cdots \end{array} $$
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$-\infty$}} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für $n > m$, $n$ und $m$ gerade sowie $\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} > 0$} \\[5px] -\infty & \text{für $n > m$, $n$ und $m$ gerade sowie $\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} < 0$} \end{cases} \end{equation*} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^4-4}{2x^2-5} $$
für $x\to-\infty$.
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ und $m$ gerade sind sowie $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $+\infty$:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^4-4}{2x^2-5} = +\infty $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 153{,}83 & \approx 15003{,}75 & \approx 1500003{,}75 & \cdots \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^4-4}{-2x^2-5} $$
für $x\to-\infty$.
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ und $m$ gerade sind sowie $\frac{a_n}{b_m} < 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $-\infty$:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^4-4}{-2x^2-5} = -\infty $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx -146{,}32 & \approx -14996{,}25 & \approx -1499996{,}25 & \cdots \end{array} $$
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$-\infty$}} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für $n > m$, $n$ und $m$ ungerade sowie $\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} > 0$} \\[5px] -\infty & \text{für $n > m$, $n$ und $m$ ungerade sowie $\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} < 0$} \end{cases} \end{equation*} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^3-4}{2x-5} $$
für $x\to-\infty$.
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ und $m$ ungerade sind sowie $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $+\infty$:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^3-4}{2x-5} = +\infty $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 120{,}16 & \approx 14634{,}17 & \approx 1496259{,}35 & \cdots \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^3-4}{-2x-5} $$
für $x\to-\infty$.
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ und $m$ ungerade sind sowie $\frac{a_n}{b_m} < 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $-\infty$:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^3-4}{-2x-5} = -\infty $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx -200{,}27 & \approx -15384{,}64 & \approx -1503759{,}4 & \cdots \end{array} $$
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$-\infty$}} f(x) = \begin{cases} -\infty & \text{für $n > m$, $n$ und $m$ verschieden* sowie $\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} > 0$} \\[5px] +\infty & \text{für $n > m$, $n$ und $m$ verschieden* sowie $\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} < 0$} \end{cases} \end{equation*} $$
* Mit verschieden
ist hier einmal gerade und einmal ungerade
gemeint.
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^2-4}{2x-5} $$
für $x\to-\infty$.
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ gerade und $m$ ungerade ist sowie $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $-\infty$:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^2-4}{2x-5} = -\infty $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx -11{,}84 & \approx -146{,}32 & \approx -1496{,}26 & \cdots \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion
$$ f(x) = \frac{3x^2-4}{-2x-5} $$
für $x\to-\infty$.
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ gerade und $m$ ungerade ist sowie $\frac{a_n}{b_m} < 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $+\infty$:
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^2-4}{-2x-5} = +\infty $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 19{,}73 & \approx 153{,}83 & \approx 1503{,}76 & \cdots \end{array} $$
