Regel von l'Hospital
In diesem Kapitel besprechen wir, wann und wie man die Regel von l’Hospital einsetzt.
Erforderliches Vorwissen
- Funktionen ableiten
- Was ist ein Grenzwert?
Anwendung
Die Regel von l’Hospital setzt man ein, wenn man den Grenzwert einer Funktion vom Typ
$$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $$
berechnen soll und als Ergebnis einen unbestimmten Ausdruck wie $\frac{0}{0}$ bzw. $\frac{\infty}{\infty}$ erhält.
Satz
Regel von l’Hospital
$$ \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{g'(x)}{h'(x)} $$
Die Regel von l’Hospital gilt auch, wenn es sich um Grenzübergänge vom Typ $x \to +\infty$ oder $x \to -\infty$ handelt.
Anleitung
Zählerfunktion $\boldsymbol{g(x)}$ und Nennerfunktion $\boldsymbol{h(x)}$ getrennt voneinander ableiten
Grenzwert von $\boldsymbol{\frac{g'(x)}{h'(x)}}$ berechnen
Anmerkungen
- Es gibt Fälle, in denen erst die mehrmalige Anwendung dieser Grenzwertregel zum Ziel führt.
- Es kann vorkommen, dass die Regel versagt. Nicht bei jeder Aufgabenstellung lässt sich mithilfe der Regel von l’Hospital ein Grenzwert berechnen.
Beispiele
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \frac{0}{0} $$
Aufgrund des unbestimmten Ausdrucks $\frac{0}{0}$ können wir die Regel von l’Hospital anwenden, d. h. wir leiten den Zähler und den Nenner getrennt voneinander ab und berechnen anschließend den Grenzwert des neuen Terms:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x }{1} = \lim_{x \to 0} e^x = 1 $$
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \frac{\infty}{\infty} $$
Aufgrund des unbestimmten Ausdrucks $\frac{\infty}{\infty}$ können wir die Regel von l’Hospital anwenden, d. h. wir leiten den Zähler und den Nenner getrennt voneinander ab und berechnen anschließend den Grenzwert des neuen Terms:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
Unbestimmte Ausdrücke umformen
Die Regel von l’Hospital gilt zwar nur für unbestimmte Ausdrücke der Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$, die anderen unbestimmten Ausdrücke
$0 \cdot \infty$bzw.$\infty \cdot 0$$\infty - \infty$$0^0,~ \infty^{0}, 1^{\infty}$
können jedoch mithilfe sog. elementarer Umformungen so umgeformt werden, dass man die Regel von l’Hospital anwenden kann.
Die folgende Tabelle zeigt die jeweilige Funktion, ihren Grenzwert sowie die Formel für die elementare Umformung, die nötig ist, um die Regel von l’Hospital anwenden zu können:
Funktion $\boldsymbol{f(x)}$ | $$\boldsymbol{\lim_{x \to x_0} f(x)}$$ | Elementare Umformung |
|---|---|---|
$$g(x) \cdot h(x)$$ | $$0 \cdot \infty \text{ bzw. } \infty \cdot 0$$ | $$\frac{g(x)}{\frac{1}{h(x)}} \text{ bzw. } \frac{h(x)}{\frac{1}{g(x)}}$$ |
$$g(x) - h(x)$$ | $$\infty - \infty$$ | $$\frac{\frac{1}{h(x)}-\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{g(x) \cdot h(x)}}$$ |
$$g(x)^{h(x)}$$ | $$0^0,~ \infty^{0}, 1^{\infty}$$ | $$e^{h(x) \cdot \ln g(x)}$$ |
