Grenzwert einer Potenzfunktion
In diesem Kapitel lernen wir, den Grenzwert einer Potenzfunktion zu berechnen.
Erforderliches Vorwissen
- Potenzfunktionen
- Was ist ein Grenzwert?
Einordnung
Wir wissen bereits, dass wir Grenzwerte mithilfe von Wertetabellen berechnen können. Dieses Vorgehen ist allerdings ziemlich zeitaufwändig. Bei einigen Funktionen können wir ohne Berechnung, also nur durch das Aussehen
der Funktionsgleichung auf den Grenzwert schließen.
Grenzwert x gegen plus unendlich
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$+\infty$}} x^n = \begin{cases} +\infty & \text{für } n > 0 \\[5px] 1 & \text{für } n = 0 \\[5px] 0 & \text{für } n < 0 \end{cases} \end{equation*} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = x^2$ für $x\to+\infty$.
$$ \lim_{x\to+\infty} x^2 = +\infty \qquad \text{wegen } 2 > 0 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 \\ \hline f(x) & 1 & 100 & 10.000 & 1.000.000 & 100.000.000 \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = x^3$ für $x\to+\infty$.
$$ \lim_{x\to+\infty} x^3 = +\infty \qquad \text{wegen } 3 > 0 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 \\ \hline f(x) & 1 & 1.000 & 1.000.000 & 1.000.000.000 & 1.000.000.000.000 \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2}$ für $x\to+\infty$.
$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^2} = \lim_{x\to+\infty} x^{-2} = 0 \qquad \text{wegen } -2 < 0 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 \\ \hline f(x) & 1 & 0{,}01 & 0{,}0001 & 0{,}000001 & 0{,}00000001 \end{array} $$
Grenzwert x gegen minus unendlich
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$-\infty$}} x^n = \begin{cases} +\infty & \text{für $n > 0$ und $n$ ist gerade} \\[5px] -\infty & \text{für $n > 0$ und $n$ ist ungerade} \\[5px] 1 & \text{für $n = 0$} \\[5px] 0 & \text{für $n < 0$} \end{cases} \end{equation*} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = x^2$ für $x\to-\infty$.
$$ \lim_{x\to-\infty} x^2 = +\infty \qquad \text{wegen } 2 > 0 \text{ und gerade} $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 \\ \hline f(x) & 1 & 100 & 10.000 & 1.000.000 & 100.000.000 \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = x^3$ für $x\to-\infty$.
$$ \lim_{x\to-\infty} x^3 = -\infty \qquad \text{wegen } 3 > 0 \text{ und ungerade} $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 \\ \hline f(x) & -1 & -1.000 & -1.000.000 & -1.000.000.000 & -1.000.000.000.000 \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2}$ für $x\to-\infty$.
$$ \lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} x^{-2} = 0 \qquad \text{wegen } -2 < 0 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 \\ \hline f(x) & 1 & 0{,}01 & 0{,}0001 & 0{,}000001 & 0{,}00000001 \end{array} $$
