Halbwertszeit
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Halbwertszeit ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die Halbwertszeit $\boldsymbol{t_H}$ ist die Zeitspanne, nach der sich der Anfangsbestand $B(0)$ halbiert hat.
Beispiel
Im Labor untersuchen wir das Verhalten von 1000 Gramm Caesium. Jedes Jahr nimmt die Menge um 2,284 % ab.
Berechne die Halbwertszeit.
| Ansatz | $\boldsymbol{B(t) = B(0) \cdot q^t}$ |
| Anfangsbestand | $B(0) = 1000$ |
| Abnahmefaktor | $q = 1 - \frac{p}{100} = 1 - \frac{2{,}284}{100} = 1 - 0{,}02284 = 0{,}97716$ |
$$ \Rightarrow B(t) = 1000 \cdot 0{,}97716^t $$
Die Menge halbiert sich, wenn gilt: $0{,}97716^t = 0{,}5$.
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung, die wir durch Logarithmieren lösen können:
$$ \begin{align*} 0{,}97716^t &= 0{,}5 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}} \\[5px] \ln(0{,}97716^t) &= \ln(0{,}5) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}} \\[5px] t \cdot \ln(0{,}97716) &= \ln(0{,}5) &&{\color{gray}|\, :\ln(0{,}97716)} \\[5px] t &= \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}97716)} \\[5px] t &\approx 30 \end{align*} $$
Nach ungefähr 30 Jahren hat sich die Menge halbiert.
Formel
Formel für die Halbwertszeit
$$ t_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(q)} $$
Dabei ist $q$ der Abnahmefaktor: $q = 1 - \frac{p}{100}$.
Anmerkung
Um die Halbwertszeit zu berechnen, müssen wir nur den Prozentsatz $p$ (= Abnahmerate) kennen, der angibt, um wie viel Prozent der Bestand pro Zeiteinheit (z. B. Jahre) abnimmt.
Verwandt mit der Halbwertszeit $t_H$ ist die Verdopplungszeit $t_V$.
