Exponentielle Abnahme
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was exponentielle Abnahme ist.
Erforderliches Vorwissen
Charakteristikum
Für exponentielle Abnahme ist eine konstante prozentuale Abnahme in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Exponentielle Abnahme wird durch Exponentialfunktionen beschrieben.
Beispiel
In einer Kleinstadt leben 14.000 Menschen. Pro Jahr sinkt die Einwohnerzahl um 10 %, d. h. die Einwohnerzahl nimmt konstant um 10 % ab.
Zu Beginn (im Zeitpunkt 0) hat die Stadt 14.000 Einwohner. Danach gilt:
- Jahr: 12.600 (= 14.000 - 14.000
$\cdot$10 %) - Jahr: 11.340 (= 12.600 - 12.600
$\cdot$10 %) - Jahr: 10.206 (= 11.340 - 11.340
$\cdot$10 %)
…
Mathematisch betrachtet handelt es sich dabei um eine Funktion: Jedem Jahr wird eine Einwohnerzahl eindeutig zugeordnet.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c} \text{Jahr } x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Einwohner } y & 14.000 & 12.600 & 11.340 & 10.206 \\ \end{array} $$
Mithilfe der obigen Wertetabelle können wir einen Graphen zeichnen.
Darstellungsformen
Statt $f(x)$ schreibt man im Zusammenhang mit Abnahme häufig $B(t)$:
$B(t)$ ist eine Funktion, die den Bestand $B$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ ausdrückt.
Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, den Bestand $B$ zu berechnen.
Wiederholung: Abnahmefaktor
Für den Abnahmefaktor $q$ gilt: $q = 1 - \frac{p}{100}$.
Eine Abnahme um 16 % entspricht einer Abnahme auf 84 %.
$$ p\ \% = 16\ \% \quad \Rightarrow \quad q = 100\ \% - 16\ \% = 1 - \frac{16}{100} = 0{,}84 $$
Rekursive Darstellung
$$ B(t+1) = B(t) \cdot {\color{red}q} \quad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1} $$
Rekursiv bedeutet auf bekannte Werte zurückgehend
: Um zum Beispiel $B(3)$ zu berechnen, müssen wir $B(2)$ kennen. Um $B(2)$ zu berechnen, müssen wir $B(1)$ kennen und um $B(1)$ zu berechnen, müssen wir $B(0)$ kennen.
Im Labor untersuchen wir das Verhalten des radioaktiven chemischen Elements Uran-231. Wir haben 1000 Gramm davon zur Verfügung. Pro Tag zerfallen etwa 16 % der Kerne.
Wie viel Gramm Uran-231 ist nach 3 Tagen noch vorhanden?
Die dazugehörige rekursive Funktionsgleichung ist
$$ B(t+1) = B(t) \cdot {\color{red}0{,}84} $$
Außerdem gilt:
$$ B(0) = 1000 $$
Daraus folgt:
$$ B(1) = B(0) \cdot 0{,}84 = 1000\phantom{,6} \cdot 0{,}84 = 840 $$
$$ B(2) = B(1) \cdot 0{,}84 = \phantom{1}840\phantom{,6} \cdot 0{,}84 = 705{,}6 $$
$$ B(3) = B(2) \cdot 0{,}84 = \phantom{1}705{,}6 \cdot 0{,}84 = 592{,}704 $$
In 3 Tagen sind noch 592,704 g vorhanden.
Explizite Darstellung
$$ B(t) = B(0) \cdot {\color{red}q}^t \quad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1} $$
Mithilfe der expliziten Darstellung ist es möglich, jeden Funktionswert sofort auszurechnen.
Im Labor untersuchen wir das Verhalten des radioaktiven chemischen Elements Uran-231. Wir haben 1000 Gramm davon zur Verfügung. Pro Tag zerfallen etwa 16 % der Kerne.
Wie viel Gramm Uran-231 ist nach 3 Tagen noch vorhanden?
Die dazugehörige explizite Funktionsgleichung ist
$$ B(t) = 1000 \cdot {\color{red}0{,}84}^t $$
Daraus folgt:
$$ B(3) = 1000 \cdot 0{,}84^3 = 592{,}704 $$
In 3 Tagen sind noch 592,704 g vorhanden.
Änderungsrate
Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums.
Der Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ ist $\Delta t = t_2 - t_1$.
$\Delta$ (Delta) ist das mathematische Zeichen für eine Differenz.
Absolute Änderungsrate
Die absolute Abnahme eines Bestands heißt absolute Änderungsrate $\Delta B(t)$.
$$ \Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{red}q}-1) \quad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1} $$
Herleitung
Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu $\Delta B(t) = B(t+1) - B(t)$.
$$ \begin{align*} \Delta B(t) &= B(t+1) - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t+1) = B(t) \cdot q \text{ (= Rekursive Darstellung)}} \\[5px] &= B(t) \cdot q - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t) \text{ ausklammern}} \\[5px] &= B(t) \cdot (q-1) \end{align*} $$
Relative Änderungsrate
Die relative Änderungsrate setzt die Änderung des Bestands mit dem Anfangsbestand in Beziehung.
$$ \frac{\Delta B(t)}{B(t)} = {\color{red}q}-1 \quad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1} $$
$\Rightarrow$ Die relative Änderungsrate $\frac{\Delta B(t)}{B(t)}$ ist konstant.
$\Rightarrow$ Die absolute Änderungsrate $\Delta B(t)$ ist proportional zum aktuellen Bestand $B(t)$.
Handelt es sich um exponentielle Abnahme?
In vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle gegeben und man soll überprüfen, ob sie einen exponentiellen Zusammenhang abbildet. Zur Überprüfung eignet sich folgende Eigenschaft:
$$ \frac{B(t+1)}{B(t)} = {\color{red}q} \quad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1} $$
Der Quotient zweier Folgeglieder der Folge ist stets gleich.
Handelt es sich bei
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} t & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline B(t) & 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{array} $$
um exponentielle Abnahme?
$$ \frac{B(1)}{B(0)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{B(2)}{B(1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{B(3)}{B(2)} = \frac{1}{2} $$
Damit haben wir gezeigt, dass $B(t)$ exponentiell abnimmt.
Wenn es sich um exponentielle Abnahme handelt, wird häufig nach der Halbwertszeit gefragt: Das ist die Zeitspanne, nach der sich ein Anfangsbestand $B(0)$ halbiert hat.
