Lineare Abnahme
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Abnahme ist.
Erforderliches Vorwissen
Charakteristikum
Für lineare Abnahme ist eine konstante Abnahme in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Lineare Abnahme wird durch lineare Funktionen beschrieben.
Beispiel
Wir haben uns von Mama 30 € geliehen. Jeden Monat zahlen wir 5 € zurück, d. h. unsere Schulden nehmen konstant um 5 € ab.
Zu Beginn (im Zeitpunkt 0) haben wir 30 € Schulden. Danach gilt:
- Monat: 25 € (= 30 € - 5 €)
- Monat: 20 € (= 25 € - 5 €)
- Monat: 15 € (= 20 € - 5 €)
…
Mathematisch betrachtet handelt es sich dabei um eine Funktion: Jedem Monat wird ein Schuldenstand eindeutig zugeordnet.
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} \text{Monat } x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Schulden } y & 30 & 25 & 20 & 15 \\ \end{array} $$
Mithilfe der obigen Wertetabelle können wir einen Graphen zeichnen.
Darstellungsformen
Statt $f(x)$ schreibt man im Zusammenhang mit Abnahme häufig $B(t)$:
$B(t)$ ist eine Funktion, die den Bestand $B$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ ausdrückt.
Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, den Bestand $B$ zu berechnen.
Rekursive Darstellung
$$ B(t+1) = B(t) + {\color{red}m} \quad \text{mit } {\color{red}m < 0} $$
Rekursiv bedeutet auf bekannte Werte zurückgehend
: Um zum Beispiel $B(3)$ zu berechnen, müssen wir $B(2)$ kennen. Um $B(2)$ zu berechnen, müssen wir $B(1)$ kennen und um $B(1)$ zu berechnen, müssen wir $B(0)$ kennen.
Nach einer Geburtstagparty hat Otto einen Blutalkoholgehalt von 1,2 ‰. Pro Stunde verringert sich sein Blutalkoholgehalt um 0,2 ‰.
Auf wie viel Promille sinkt der Blutalkoholgehalt in 3 Stunden?
Die dazugehörige rekursive Funktionsgleichung ist
$$ B(t+1) = B(t) {\color{red}\; - \; 0{,}2} $$
Außerdem gilt:
$$ B(0) = 1{,}2 $$
Daraus folgt:
$$ B(1) = B(0) - 0{,}2 = 1{,}2 - 0{,}2 = 1{,}0 $$
$$ B(2) = B(1) - 0{,}2 = 1{,}0 - 0{,}2 = 0{,}8 $$
$$ B(3) = B(2) - 0{,}2 = 1{,}0 - 0{,}2 = 0{,}6 $$
Nach 3 Stunden hat Otto noch 0,6 ‰.
Explizite Darstellung
$$ B(t) = {\color{red}m} \cdot t + b \quad \text{mit } {\color{red}m < 0} $$
Mithilfe der expliziten Darstellung ist es möglich, jeden Funktionswert sofort auszurechnen.
Nach einer Geburtstagparty hat Otto einen Blutalkoholgehalt von 1,2 ‰. Pro Stunde verringert sich sein Blutalkoholgehalt um 0,2 ‰.
Auf wie viel Promille sinkt der Blutalkoholgehalt in 3 Stunden?
Die dazugehörige explizite Funktionsgleichung ist
$$ B(t) = {\color{red}-0{,}2} \cdot t + 1{,}2 $$
Daraus folgt:
$$ B(3) = -0{,}2 \cdot 3 + 1{,}2 = 0{,}6 $$
Nach 3 Stunden hat Otto noch 0,6 ‰.
Änderungsrate
Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums.
Der Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ ist $\Delta t = t_2 - t_1$.
$\Delta$ (Delta) ist das mathematische Zeichen für eine Differenz.
Absolute Änderungsrate
Die absolute Abnahme eines Bestands heißt absolute Änderungsrate $\Delta B(t)$.
$$ \Delta B(t) = {\color{red}m} \quad \text{mit } {\color{red}m < 0} $$
$\Rightarrow$ Die absolute Änderungsrate $\Delta B(t)$ ist konstant.
Herleitung
Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu $\Delta B(t) = B(t+1) - B(t)$.
$$ \begin{align*} \Delta B(t) &= B(t+1) - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t+1) = B(t) + m \text{ (= Rekursive Darstellung)}} \\[5px] &= B(t) + m - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t) - B(t) = 0} \\[5px] &= m \end{align*} $$
Relative Änderungsrate
Die relative Änderungsrate setzt die Änderung des Bestands mit dem Anfangsbestand in Beziehung.
$$ \frac{\Delta B(t)}{B(t)} = \frac{{\color{red}m}}{B(t)} \quad \text{mit } {\color{red}m < 0} $$
Handelt es sich um lineare Abnahme?
In vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle gegeben und man soll überprüfen, ob sie einen linearen Zusammenhang abbildet. Zur Überprüfung eignet sich folgende Eigenschaft:
$$ B(t+1) - B(t) = {\color{red}m} \quad \text{mit } {\color{red}m < 0} $$
Die Differenz zweier Folgeglieder der Folge ist stets gleich.
