Zuordnung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Zuordnung ist.
Einführungsbeispiel
Zuordnungen gibt es nicht nur in der Mathematik. Auch im echten Leben ordnen wir Dinge zu.
Wir fragen drei Freunde, welches Haustier sie besitzen. Dabei stellen wir fest:
- David besitzt einen Hund
- Anna besitzt ein Pferd
- Paul besitzt eine Katze
Den Besitzern lassen sich ihre Haustieren eindeutig zuordnen.
Mathematiker sind schreibfaul. Sie benutzen deshalb den Pfeil
, um Zuordnungen anzugeben.$\longmapsto$
$\text{David} \longmapsto \text{Hund}$(DAVID wird HUND eindeutig zugeordnet
)$\text{Anna} \longmapsto \text{Pferd}$(ANNA wird PFERD eindeutig zugeordnet
)$\text{Paul} \longmapsto \text{Katze}$(PAUL wird KATZE eindeutig zugeordnet
)
Mit diesem Wissen können wir eine Zuordnung folgendermaßen beschreiben:
Definition
Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert eindeutig zu.
Im Einführungsbeispiel haben wir uns mit Haustierbesitzern und ihren Haustieren beschäftigt. Für Mathematiker ist das leider uninteressant. Es ist an der Zeit, dass Zahlen ins Spiel kommen.
Wir gehen in eine Metzgerei, um ein paar belegte Brötchen zu kaufen.
Am Eingang hängt eine Preistafel mit folgender Beschriftung:
- 1 belegtes Brötchen kostet 2 €
- 2 belegte Brötchen kosten 4 €
- 3 belegte Brötchen kosten 6 €
- 4 belegte Brötchen kosten 8 €
Der Anzahl der Brötchen lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
$$ \text{Anzahl Brötchen} \longmapsto \text{ Preis} $$
$$ 1 \longmapsto 2 $$
$$ 2 \longmapsto 4 $$
$$ 3 \longmapsto 6 $$
$$ 4 \longmapsto 8 $$
Darstellung von Zuordnungen
Im Wesentlichen gibt es vier Möglichkeiten, eine Zuordnung darzustellen:
- Pfeildiagramm
- Zuordnungstabelle (Wertetabelle)
- Koordinatensystem
- Mathematische Vorschrift (Zuordnungsvorschrift)
Zu jeder dieser Darstellungen schauen wir uns im Folgenden ein Beispiel an. Grundlage ist jeweils die Zuordnung aus Beispiel 3 (Stichwort: Brötchen).
Pfeildiagramm
Das Pfeildiagramm haben wir bereits weiter oben kennengelernt.
Die Zahl links vom Pfeil ist der Ausgangswert, die rechte Zahl der zugeordnete Wert.
Zuordnungstabelle (Wertetabelle)
Zuordnungstabellen, die oft auch Wertetabellen genannt werden, lassen sich sowohl waagrecht als auch senkrecht darstellen. Welche Darstellung du wählst, ist dir überlassen. Orientiere dich am besten an der Darstellung, die dein Lehrer verwendet.
Eine waagrechte Zuordnungstabelle hat zwei Reihen. In der oberen Reihe befinden sich die Ausgangswerte und in der unteren Reihe die zugeordneten Werte.
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} \text{Ausgangswert} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{Zugeordneter Wert} & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \end{array} $$
Eine senkrechte Zuordnungstabelle hat zwei Spalten. In der linken Spalte befinden sich die Ausgangswerte und in der rechten Spalte die zugeordneten Werte.
$$ \begin{array}{c|c} \text{Ausgangswert} & \text{Zugeordneter Wert} \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{array} $$
Koordinatensystem
…zwei Geraden einzeichnest, die aufeinander senkrecht stehen, erhältst du ein Koordinatensystem. Diese Geraden bezeichnet man dann als Koordinatenachsen.
Wichtig ist, dass du die Koordinatenachsen richtig beschriftest (siehe Abbildung).
Die waagrechte Koordinatenachse steht für die Ausgangswerte, die senkrechte Koordinatenachse für die zugeordneten Werte der Zuordnung.
Die Zuordnung
$$ 1 \longmapsto 2 $$
entspricht dann einem Punkt im Koordinatensystem. Genauer gesagt, dem Punkt, den man erhält, wenn man vom Koordinatenursprung eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben geht.
Mathematische Vorschrift (Zuordnungsvorschrift)
Mithilfe einer mathematischen Vorschrift lässt sich der zweite Wert aus dem ersten Wert berechnen. Diese mathematische Vorschrift bezeichnet man im Fall von Zuordnungen als Zuordnungsvorschrift.
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} \text{Anzahl Brötchen} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{Preis} & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \end{array} $$
Aus der Tabelle lässt sich herauslesen:
- 1 Brötchen kostet 2 €
- 2 Brötchen kosten 4 €
- 3 Brötchen kosten 6 €
- 4 Brötchen kosten 8 €
In der letzten Spalte steht z. B. 4 Brötchen kosten 8 €
. Da ein Brötchen 2 Euro kostet, kosten 4 Brötchen natürlich ${\color{red}{2}}\ \textrm{€} \cdot 4 = 8\ \textrm{€}$.
Die Tabelle können wir demnach folgendermaßen umschreiben:
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} \text{Anzahl Brötchen} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{Preis} & {\color{red}{2}} \cdot 1 & {\color{red}{2}} \cdot 2 & {\color{red}{2}} \cdot 3 & {\color{red}{2}} \cdot 4 \\ \end{array} $$
Jetzt interessieren wir uns dafür, wie viel $x$ Brötchen kosten. Der Buchstabe $x$ steht für eine unbekannte Anzahl an Brötchen.
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Anzahl Brötchen} & 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & x \\ \hline \text{Preis} & {\color{red}{2}} \cdot 1 & {\color{red}{2}} \cdot 2 & {\color{red}{2}} \cdot 3 & {\color{red}{2}} \cdot 4 & \dots & {\color{red}{2}} \cdot x \\ \end{array} $$
$x$ Brötchen kosten also ${\color{red}{2}} \cdot x$ Euro.
Die Zuordnungsvorschrift für $x$ Brötchen lautet folglich:
$$ x \longmapsto 2 \cdot x $$
Mithilfe dieser mathematischen Vorschrift können wir den zweiten Wert (Preis) aus dem ersten Wert (Anzahl) berechnen. Um das zu verdeutlichen, überlegen wir uns, wie viel 40 Brötchen kosten:
$$ 40 \longmapsto 2 \cdot 40 = 80 $$
40 Brötchen kosten 80 €.
Wenn du das Beispiel nicht auf Anhieb verstanden hast, ist das nicht schlimm. An dieser Stelle solltest du dir nur merken, dass es grundsätzlich möglich ist, eine Zuordnung auch als mathematische Vorschrift (Zuordnungsvorschrift) zu formulieren.
Arten von Zuordnungen
Es gibt zwei Arten von Zuordnungen, die in der Schule häufig betrachtet werden:
| Proportionale Zuordnung | Antiproportionale Zuordnung | |
|---|---|---|
| Synonym | Direkte Proportionalität | Indirekte Proportionalität |
| Bedeutung | Gleichmäßiges Wachstum | Gegenläufiges Wachstum |
| Merksatz | Je mehr, desto mehr | Je mehr, desto weniger |
| Beispiel | $$\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}x & {\color{green}0} & {\color{green}1} & {\color{green}2} & {\color{green}3} & {\color{green}4} & {\color{green}5} \\ \hline y & {\color{green}0} & {\color{green}2} & {\color{green}4} & {\color{green}6} & {\color{green}8} & {\color{green}10} \\ \end{array}$$ | $$\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}x & {\color{green}1} & {\color{green}2} & {\color{green}3} & {\color{green}4} & {\color{green}5} & {\color{green}6} \\ \hline y & {\color{red}12} & {\color{red}6} & {\color{red}4} & {\color{red}3} & {\color{red}2{,}4} & {\color{red}2} \\ \end{array}$$ |
| Graph | Steigende Halbgerade durch den Nullpunkt | Hyperbel, die von oben links nach unten rechts fallend verläuft |
| Zuordnungs -vorschrift | $$x \longmapsto k \cdot x$$ | $$x \longmapsto k \cdot \frac{1}{x}$$ |
$\boldsymbol{k}$ heißt | Proportionalitätsfaktor | Antiproportionalitätsfaktor |
| Eigenschaft | Die Zahlenpaare $x$ und $y$sind quotientengleich, d. h. $$y:x = \text{konstant}$$ | Die Zahlenpaare $x$ und $y$sind produktgleich, d. h. $$x \cdot y = \text{konstant}$$ |
