Antiproportionale Zuordnung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine antiproportionale Zuordnung (indirekte Proportionalität) ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Zuordnung?
Einordnung
In der Schule werden zwei Arten von Zuordnungen besprochen, die wir im Folgenden jeweils durch ein Beispiel illustrieren.
$1\ \textrm{kg}$ Äpfel kostet $2\ \textrm{€}$. $2\ \textrm{kg}$ Äpfel kosten $4\ \textrm{€}$… usw.
Der Menge der Äpfel lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
$$ \text{Menge } \longmapsto \text{ Preis} $$
$$ 1 \longmapsto 2 $$
$$ 2 \longmapsto 4 $$
$$ 3 \longmapsto 6 $$
$$ 4 \longmapsto 8 $$
$$ 5 \longmapsto 10 $$
…
1 Gärtner braucht zum Mähen einer bestimmten Rasenfläche 6 Minuten. Wenn 2 Gärtner zusammenhelfen, brauchen sie nur 3 Minuten… usw.
Die Anzahl der Gärtner lässt sich der Arbeitszeit eindeutig zuordnen:
$$ \text{Anzahl Gärtner} \longmapsto \text{ Arbeitszeit} $$
$$ 1 \longmapsto 6 $$
$$ 2 \longmapsto 3 $$
$$ 3 \longmapsto 2 $$
$$ 4 \longmapsto 1{,}5 $$
$$ 5 \longmapsto 1{,}2 $$
$$ 6 \longmapsto 1 $$
…
Zwischen den beiden Beispielen können wir folgende Unterschiede feststellen:
Unterschied 1
- In Beispiel 1 gilt: Je mehr Äpfel, desto mehr Geld muss man bezahlen.
- In Beispiel 2 gilt: Je mehr Gärtner, desto weniger Zeit wird benötigt.
Unterschied 2
- Beispiel 1 besitzt einen Nullpunkt.
0 Äpfel kosten 0 €:$0 \longmapsto 0$. - Beispiel 2 besitzt keinen Nullpunkt.
Es ist nicht logisch, dass 0 Gärtner 0 Minuten zum Mähen des Rasens benötigen.
Fazit
$\Rightarrow$ Bei Beispiel 1 handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.$\Rightarrow$ Bei Beispiel 2 handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung.
Da es in diesem Kapitel um antiproportionale Zuordnungen geht, betrachten wir Beispiel 2 etwas genauer.
Eigenschaften einer antiproportionalen Zuordnung
Antiproportionale Zuordnungen beschreiben gegenläufiges Wachstum.
1 Gärtner braucht 6 Minuten.
$$ 1 \longmapsto 6 $$
Wenn wir die Anzahl der Gärtner verdoppeln, halbiert sich die Arbeitszeit.
$$ {\color{red}{2}} \cdot 1 \longmapsto \frac{1}{{\color{red}{2}}} \cdot 6 $$
2 Gärtner brauchen also 3 Minuten.
Wenn wir die Anzahl der Gärtner verdreifachen, ergibt sich ein Drittel der Arbeitszeit.
$$ {\color{red}{3}} \cdot 1 \longmapsto \frac{1}{{\color{red}{3}}} \cdot 6 $$
3 Gärtner brauchen also 2 Minuten.
Für eine antiproportionale Zuordnung $x \longmapsto y$ ergibt sich daraus folgende Eigenschaft:
$$ x \cdot y = \text{konstant} $$
Das Produkt aus Ausgangswert ($x$) und zugeordnetem Wert ($y$) ist immer gleich.
Man sagt: Die Zahlenpaare $x$ und $y$ sind produktgleich.
Für eine antiproportionale Zuordnung $x \longmapsto y$ gilt auch:
$$ x \cdot y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} $$
Das Produkt aus Ausgangswert ($x$) und zugeordnetem Wert ($y$) heißt Antiproportionalitätsfaktor.
Wenn wir den Ausgangswert mit dem zugeordneten Wert multiplizieren,
$$ \begin{align*} &1 \longmapsto 6 \qquad \qquad & 1 \cdot 6 = {\color{red}{6}} \\[5px] &2 \longmapsto 3 \qquad \qquad & 2 \cdot 3 = {\color{red}{6}} \\[5px] &3 \longmapsto 2 \qquad \qquad & 3 \cdot 2 = {\color{red}{6}} \\[5px] &4 \longmapsto 1{,}5 \qquad \qquad & 4 \cdot 1{,}5 = {\color{red}{6}} \\[5px] &5 \longmapsto 1{,}2 \qquad \quad & 5 \cdot 1{,}2 = {\color{red}{6}} \\[5px] &6 \longmapsto 1 \qquad \quad & 6 \cdot 1 = {\color{red}{6}} \\[5px] \end{align*} $$
stellen wir fest, dass immer derselbe Wert herauskommt.
Diesen Wert (hier: $6$) nennt man den Antiproportionalitätsfaktor der Zuordnung.
Wenn man den Antiproportionalitätsfaktor kennt, lässt sich der zugeordnete Wert ($y$) in Abhängigkeit des Ausgangswertes ($x$) ausdrücken.
Herleitung
$$ x \cdot y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \qquad |\, :x $$
$$ y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x} $$
Für antiproportionale Zuordnungen $x \longmapsto y$ gilt folglich:
Zuordnungsvorschrift
$$ x \longmapsto k \cdot \frac{1}{x} $$
Dabei ist $k$ der Antiproportionalitätsfaktor.
$$ 1 \longmapsto {\color{red}{6}} \cdot \frac{1}{1} $$
$$ 2 \longmapsto {\color{red}{6}} \cdot \frac{1}{2} $$
$$ 3 \longmapsto {\color{red}{6}} \cdot \frac{1}{3} $$
$$ 4 \longmapsto {\color{red}{6}} \cdot \frac{1}{4} $$
$$ 5 \longmapsto {\color{red}{6}} \cdot \frac{1}{5} $$
$$ 6 \longmapsto {\color{red}{6}} \cdot \frac{1}{6} $$
Mit diesem Wissen können wir endlich eine antiproportionale Zuordnung definieren:
Definition
Eine Zuordnung $x \longmapsto y$ heißt antiproportional,
wenn jeder $x$-Wert durch Multiplikation mit dem zugehörigen $y$-Wert eine gleich große Zahl (Antiproportionalitätsfaktor) ergibt.
Darstellung antiproportionaler Zuordnungen
Im Wesentlichen gibt es vier Möglichkeiten, antiproportionale Zuordnungen darzustellen:
- Pfeildiagramm
- Zuordnungstabelle (Wertetabelle)
- Koordinatensystem
- Mathematische Vorschrift (Zuordnungsvorschrift)
Zu jeder dieser Darstellungen schauen wir uns im Folgenden ein Beispiel an. Grundlage ist jeweils die Zuordnung aus Beispiel 2 (Stichwort: Gärtner).
Pfeildiagramm
Das Pfeildiagramm haben wir bereits weiter oben kennengelernt.
$$ 1 \longmapsto 6 $$
$$ 2 \longmapsto 3 $$
$$ 3 \longmapsto 2 $$
$$ 4 \longmapsto 1{,}5 $$
$$ 5 \longmapsto 1{,}2 $$
$$ 6 \longmapsto 1 $$
Die Zahl links vom Pfeil ist der Ausgangswert, die rechte Zahl der zugeordnete Wert.
Zuordnungstabelle (Wertetabelle)
Zuordnungstabellen, die oft auch Wertetabellen genannt werden, lassen sich sowohl waagrecht als auch senkrecht darstellen. Welche Darstellung du wählst, ist dir überlassen. Orientiere dich am besten an der Darstellung, die dein Lehrer verwendet.
Eine waagrechte Zuordnungstabelle hat zwei Reihen. In der oberen Reihe befinden sich die Ausgangswerte und in der unteren Reihe die zugeordneten Werte.
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Ausgangswert} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline \text{Zugeordneter Wert} & 6 & 3 & 2 & 1{,}5 & 1{,}2 & 1 \\ \end{array} $$
Eine senkrechte Zuordnungstabelle hat zwei Spalten. In der linken Spalte befinden sich die Ausgangswerte und in der rechten Spalte die zugeordneten Werte.
$$ \begin{array}{c|c} \text{Ausgangswert} & \text{Zugeordneter Wert} \\ \hline 1 & 6 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 4 & 1{,}5 \\ 5 & 1{,}2 \\ 6 & 1 \\ \end{array} $$
Koordinatensystem
…zwei Geraden einzeichnest, die aufeinander senkrecht stehen, erhältst du ein Koordinatensystem. Diese Geraden bezeichnet man dann als Koordinatenachsen.
Wichtig ist, dass du die Koordinatenachsen richtig beschriftest (siehe Abbildung).
Die waagrechte Koordinatenachse steht für die Ausgangswerte, die senkrechte Koordinatenachse für die zugeordneten Werte der Zuordnung.
Die Zuordnung
$$ 1 \longmapsto 6 $$
entspricht dann einem Punkt im Koordinatensystem. Genauer gesagt, dem Punkt, den man erhält, wenn man vom Koordinatenursprung eine Einheit nach rechts und sechs Einheiten nach oben geht.
$$ 1 \longmapsto 6 $$
$$ 2 \longmapsto 3 $$
$$ 3 \longmapsto 2 $$
$$ 4 \longmapsto 1{,}5 $$
$$ 5 \longmapsto 1{,}2 $$
$$ 6 \longmapsto 1 $$
Mathematische Vorschrift (Zuordnungsvorschrift)
Mithilfe einer mathematischen Vorschrift lässt sich der zweite Wert aus dem ersten Wert berechnen. Diese mathematische Vorschrift bezeichnet man im Fall von Zuordnungen als Zuordnungsvorschrift.
Für antiproportionale Zuordnungen lautet die Zuordnungsvorschrift:
$$ y = k \cdot \frac{1}{x} $$
Dabei steht $k$ für den Antiproportionalitätsfaktor.
Überprüfe, ob die Zuordnung
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} x & 1 & 2 & 4 & 5 \\ \hline y & 4 & 2 & 1 & 0{,}8 \\ \end{array} $$
antiproportional ist. Gebe ggf. eine Zuordnungsvorschrift an!
Ausgangswerte mit zugeordneten Werten multiplizieren
$$ 1 \cdot 4 = 4 $$
$$ 2 \cdot 2 = 4 $$
$$ 4 \cdot 1 = 4 $$
$$ 5 \cdot 0{,}8 = 4 $$
Da bei den Multiplikationen immer der gleiche Wert herauskommt, ist die Zuordnung antiproportional.
Das Ergebnis der Multiplikationen (hier: $4$) ist der Antiproportionalitätsfaktor.
Zuordnungsvorschrift angeben
$$ y = 4 \cdot \frac{1}{x} $$
Anmerkung
Die Zuordnungsvorschrift $y = 4 \cdot \frac{1}{x}$ hilft uns dabei, den $y$-Wert zu berechnen, wenn ein $x$-Wert gegeben ist.
Gilt beispielsweise $x = 20$, so berechnet sich $y$ zu
$$ y = 4 \cdot \frac{1}{20} = 0{,}2 $$
Andersherum funktioniert das natürlich genauso!
Gilt beispielsweise $y = 16$, so berechnet sich $x$ zu
$$ \begin{align*} 16 &= 4 \cdot \frac{1}{x} &&|\, :4 \\[5px] 4 &= \frac{1}{x} &&|\, \cdot x \\[5px] 4x &= 1 &&|\, :4 \\[5px] x &= 0{,}25 \end{align*} $$
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Zuordnungsvorschrift.
