Proportionale Zuordnung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine proportionale Zuordnung (direkte Proportionalität) ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Zuordnung?
Einordnung
In der Schule werden zwei Arten von Zuordnungen besprochen, die wir im Folgenden jeweils durch ein Beispiel illustrieren.
$1\ \textrm{kg}$ Äpfel kostet $2\ \textrm{€}$. $2\ \textrm{kg}$ Äpfel kosten $4\ \textrm{€}$… usw.
Der Menge der Äpfel lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
$$ \text{Menge } \longmapsto \text{ Preis} $$
$$ 1 \longmapsto 2 $$
$$ 2 \longmapsto 4 $$
$$ 3 \longmapsto 6 $$
$$ 4 \longmapsto 8 $$
…
1 Gärtner braucht zum Mähen einer bestimmten Rasenfläche 6 Minuten. Wenn 2 Gärtner zusammenhelfen, brauchen sie nur 3 Minuten… usw.
Die Anzahl der Gärtner lässt sich der Arbeitszeit eindeutig zuordnen:
$$ \text{Anzahl Gärtner} \longmapsto \text{ Arbeitszeit} $$
$$ 1 \longmapsto 6 $$
$$ 2 \longmapsto 3 $$
$$ 3 \longmapsto 2 $$
$$ 4 \longmapsto 1{,}5 $$
$$ 5 \longmapsto 1{,}2 $$
$$ 6 \longmapsto 1 $$
…
Zwischen den beiden Beispielen können wir folgende Unterschiede feststellen:
Unterschied 1
- In Beispiel 1 gilt: Je mehr Äpfel, desto mehr Geld muss man bezahlen.
- In Beispiel 2 gilt: Je mehr Gärtner, desto weniger Zeit wird benötigt.
Unterschied 2
- Beispiel 1 besitzt einen Nullpunkt.
0 Äpfel kosten 0 €:$0 \longmapsto 0$. - Beispiel 2 besitzt keinen Nullpunkt.
Es ist nicht logisch, dass 0 Gärtner 0 Minuten zum Mähen des Rasens benötigen.
Fazit
$\Rightarrow$ Bei Beispiel 1 handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.$\Rightarrow$ Bei Beispiel 2 handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung.
Da es in diesem Kapitel um proportionale Zuordnungen geht, betrachten wir Beispiel 1 etwas genauer.
Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung
Proportionale Zuordnungen beschreiben gleichmäßiges Wachstum.
$1\ \textrm{kg}$ Äpfel kostet $2\ \textrm{€}$.
$$ 1 \longmapsto 2 $$
Wenn wir das Gewicht der Äpfel verdoppeln, verdoppelt sich auch der Preis.
$$ {\color{green}{2}} \cdot 1 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 2 $$
Wenn wir das Gewicht der Äpfel verdreifachen, verdreifacht sich auch der Preis.
$$ {\color{green}{3}} \cdot 1 \longmapsto {\color{green}{3}} \cdot 2 $$
Für eine proportionale Zuordnung $x \longmapsto y$ ergibt sich daraus folgende Eigenschaft:
$$ y : x = \text{konstant} $$
Der Quotient aus zugeordnetem Wert ($y$) und Ausgangswert ($x$) ist immer gleich.
Man sagt: Die Zahlenpaare $x$ und $y$ sind quotientengleich.
Ausnahme:
Für den Nullpunkt
$0 \longmapsto 0$ ist der Quotient nicht definiert.
Eine Division durch Null ist nicht erlaubt!
Für eine proportionale Zuordnung $x \longmapsto y$ gilt auch:
$$ y : x = \text{Proportionalitätsfaktor} $$
Der Quotient aus zugeordnetem Wert ($y$) und Ausgangswert ($x$) heißt Proportionalitätsfaktor.
Wenn wir den zugeordneten Wert durch den Ausgangswert teilen,
$$ 1 \longmapsto 2 \qquad \qquad 2:1 = {\color{green}{2}} $$
$$ 2 \longmapsto 4 \qquad \qquad 4:2 = {\color{green}{2}} $$
$$ 3 \longmapsto 6 \qquad \qquad 6:3 = {\color{green}{2}} $$
$$ 4 \longmapsto 8 \qquad \qquad 8:4 = {\color{green}{2}} $$
stellen wir fest, dass immer der gleiche Wert herauskommt.
Diesen Wert (hier: ${\color{green}{2}}$) nennt man den Proportionalitätsfaktor der Zuordnung.
Wenn man den Proportionalitätsfaktor kennt, lässt sich der zugeordnete Wert ($y$) in Abhängigkeit des Ausgangswertes ($x$) ausdrücken.
Herleitung
$$ y : x = \text{Proportionalitätsfaktor} \qquad |\, \cdot x $$
$$ y = \text{Proportionalitätsfaktor} \cdot x $$
Für proportionale Zuordnungen $x \longmapsto y$ gilt folglich:
Zuordnungsvorschrift
$$ x \longmapsto k \cdot x $$
Dabei ist $k$ der Proportionalitätsfaktor.
$$ 1 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 1 $$
$$ 2 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 2 $$
$$ 3 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 3 $$
$$ 4 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 4 $$
Mit diesem Wissen können wir endlich eine proportionale Zuordnung definieren:
Definition
Eine Zuordnung $x \longmapsto y$ heißt proportional,
wenn sich jeder $y$-Wert durch Multiplikation des $x$-Wertes mit derselben Zahl (Proportionalitätsfaktor) ergibt.
Darstellung proportionaler Zuordnungen
Im Wesentlichen gibt es vier Möglichkeiten, proportionale Zuordnungen darzustellen:
- Pfeildiagramm
- Zuordnungstabelle (Wertetabelle)
- Koordinatensystem
- Mathematische Vorschrift (Zuordnungsvorschrift)
Zu jeder dieser Darstellungen schauen wir uns im Folgenden ein Beispiel an. Grundlage ist jeweils die Zuordnung aus Beispiel 1 (Stichwort: Äpfel).
Pfeildiagramm
Das Pfeildiagramm haben wir bereits weiter oben kennengelernt.
$$ 0 \longmapsto 0 $$
$$ 1 \longmapsto 2 $$
$$ 2 \longmapsto 4 $$
$$ 3 \longmapsto 6 $$
$$ 4 \longmapsto 8 $$
Die Zahl links vom Pfeil ist der Ausgangswert, die rechte Zahl der zugeordnete Wert.
Zuordnungstabelle (Wertetabelle)
Zuordnungstabellen, die oft auch Wertetabellen genannt werden, lassen sich sowohl waagrecht als auch senkrecht darstellen. Welche Darstellung du wählst, ist dir überlassen. Orientiere dich am besten an der Darstellung, die dein Lehrer verwendet.
Eine waagrechte Zuordnungstabelle hat zwei Reihen. In der oberen Reihe befinden sich die Ausgangswerte und in der unteren Reihe die zugeordneten Werte.
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \text{Ausgangswert} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{Zugeordneter Wert} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \end{array} $$
Eine senkrechte Zuordnungstabelle hat zwei Spalten. In der linken Spalte befinden sich die Ausgangswerte und in der rechten Spalte die zugeordneten Werte.
$$ \begin{array}{c|c} \text{Ausgangswert} & \text{Zugeordneter Wert} \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{array} $$
Koordinatensystem
…zwei Geraden einzeichnest, die aufeinander senkrecht stehen, erhältst du ein Koordinatensystem. Diese Geraden bezeichnet man dann als Koordinatenachsen.
Wichtig ist, dass du die Koordinatenachsen richtig beschriftest (siehe Abbildung).
Die waagrechte Koordinatenachse steht für die Ausgangswerte, die senkrechte Koordinatenachse für die zugeordneten Werte der Zuordnung.
Die Zuordnung
$$ 1 \longmapsto 2 $$
entspricht dann einem Punkt im Koordinatensystem. Genauer gesagt, dem Punkt, den man erhält, wenn man vom Koordinatenursprung eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben geht.
Mathematische Vorschrift (Zuordnungsvorschrift)
Mithilfe einer mathematischen Vorschrift lässt sich der zweite Wert aus dem ersten Wert berechnen. Diese mathematische Vorschrift bezeichnet man im Fall von Zuordnungen als Zuordnungsvorschrift.
Für proportionale Zuordnungen lautet die Zuordnungsvorschrift:
$$ y = k \cdot x $$
Dabei steht $k$ für den Proportionalitätsfaktor.
Überprüfe, ob die Zuordnung
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ \end{array} $$
proportional ist. Gebe ggf. eine Zuordnungsvorschrift an!
Zugeordnete Werte durch Ausgangswerte dividieren
$$ \begin{align*} 3:1 &= 3 \\[5px] 6:2 &= 3 \\[5px] 9:3 &= 3 \\[5px] 12:4 &= 3 \\[5px] 15:5 &= 3 \end{align*} $$
Da bei den Divisionen immer der gleiche Wert herauskommt, ist die Zuordnung proportional.
Das Ergebnis der Divisionen (hier: $3$) ist der Proportionalitätsfaktor.
Zuordnungsvorschrift angeben
$$ y = 3 \cdot x $$
Anmerkung
Die Zuordnungsvorschrift $y = 3 \cdot x$ hilft uns dabei, den $y$-Wert zu berechnen, wenn ein $x$-Wert gegeben ist.
Gilt beispielsweise $x = 20$, so berechnet sich $y$ zu
$$ y = 3 \cdot 20 = 60 $$
Andersherum funktioniert das natürlich genauso!
Gilt beispielsweise $y = 90$, so berechnet sich $x$ zu
$$ \begin{align*} 90 &= 3 \cdot x &&|\, \text{Seiten vertauschen} \\[5px] 3 \cdot x &= 90 &&|\, :3 \\[5px] x &= 30 \end{align*} $$
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Zuordnungsvorschrift.
